华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 参数估计 §6.5 区间估计

第六章参数估计 第1页 s6.5区间估计 6.5.1区间估计的概念 定义651设0是总体的一个参数，其参数空间为日， x,x,x,是来自该总体的样本，对给定的一个a (0<a<1),若有两个统计量 0=0(x,x,) 和0u=0u(:,",x,)若对任意的0∈日，有 P(0,≤0≤0，)≥1-a (6.5.1) 6 April 2025 华东师范大学

第六章 参数估计 6 April 2025 华东师范大学 第1页 §6.5 区间估计 6.5.1 区间估计的概念 定义6.5.1 设 是总体的一个参数，其参数空间为Θ， x1 , x2 ,., xn是来自该总体的样本，对给定的一个 (0< <1)，若有两个统计量 和 ， 若对任意的 ∈Θ，有 （6.5.1） 1 L L ( , , ) n   x x   = 1 U U ( , , ) n   x x   = ˆ ˆ ( ) 1 , P L U        −

第六章参数估计 第2页 P(0,≤0≤0)21-a 则称随机区间[，J为0的置信水平为1-α的 置信区间，或简称0r,0u]是0的1a眉信区间 0,和，分别称为9的（双侧）置信下限和置信 上限 6 April 2025 华东师范大学

第六章 参数估计 6 April 2025 华东师范大学 第2页 则称随机区间 [ ]为 的置信水平为1- 的 置信区间，或简称[ ]是 的1-置信区间. 和 分别称为 的（双侧）置信下限和置信 上限.   L U ,     L U ,    L   U  ˆ ˆ ( ) 1 , P L U        −

第六章参数估计 第3页 定义65.2沿用定义6.5.1的记号，如对给定的α (0<a<1),对任意的0eΘ，有 P,(0≤0≤0u)=1-a(6.5.2） 称「a.a]为0的1-a同等置信区间。 同等置信区间是把给定的置信水平1-α用足了。 常在总体为连续分布场合下可以实现。 6 April 2025 华东师范大学

第六章 参数估计 6 April 2025 华东师范大学 第3页 定义6.5.2 沿用定义6.5.1的记号，如对给定的 (0< <1)，对任意的∈Θ，有 （6.5.2） 称 为 的1- 同等置信区间。 同等置信区间是把给定的置信水平1- 用足了。 常在总体为连续分布场合下可以实现。 P ( ) 1     L U     = −   L U ,        

概率论与款理能外 关于定义的说明 被估计的参数日虽然未知，但它是一个常数， 没有随机性，而区间[O,0]是随机的. 因此定义中下表达式 P{0L(X1,X2,.,Xn)≤日≤0u(X1,X2,.,Xn}=1-a 的本质是： 随机区间[O,0u]以1-a的概率包含着参数0的真值， 而不能说参数θ以1一的概率落入随机区间[O,0u]

关于定义的说明 被估计的参数𝜃虽然未知, 但它是一个常数, 没有随机性, 而区间[𝜃𝐿 ∧ , 𝜃𝑈 ∧ ]是随机的. 因此定义中下表达式 𝑃{𝜃𝐿 ∧ (𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛) ≤ 𝜃 ≤ 𝜃𝑈 ∧ (𝑋1 ,𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛} = 1 − 𝛼 的本质是: 随机区间[𝜃𝐿 ∧ , 𝜃𝑈 ∧ ]以 1 − 𝛼的概率包含着参数𝜃的真值, 而不能说参数𝜃以 1 − 𝛼的概率落入随机区间[𝜃𝐿 ∧ , 𝜃𝑈 ∧ ]

概率论与赦理线计 另外定义中的表达式 P{0L(X1X2,.,Xn)≤0≤0u(X1,X2,.,Xm}=1- 还可以描述为： 若反复抽样多次（各次得到的样本容量相等，都是） 每个样本值确定一个区间[0,0小： 每个这样的区间或包含B的真值或不包含B的真值， 按伯努利大数定理，在这样多的区间中， 包含真值的约占100(1-a)%,不包含的约占100a%

若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n) 每个样本值确定一个区间[𝜽𝑳 ∧ , 𝜽𝑼 ∧ ]. 按伯努利大数定理, 在这样多的区间中, 包含真值的约占100(1−)%,不包含的约占100%. 每个这样的区间或包含 的真值或不包含 的真值, 另外定义中的表达式 𝑃{𝜃𝐿 ∧ (𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛) ≤ 𝜃 ≤ 𝜃𝑈 ∧ (𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛} = 1 − 𝛼 还可以描述为:

概率论与数理绕针」 例如若a=0.01,反复抽样1000次， 则得到的1000个区间中不包含0真值的约为10个

例如 若 = 0.01, 反复抽样1000次, 则得到的1000个区间中不包含 真值的约为10个

概率论与赦理线计 设X1,X2,Xn是来自正态总体N(4,o2) 的样本，其中σ2为已知，μ为未知，求的置信水平 为1-a的置信区间

1 . , , , , , , ( , ) 2 2 1 2 为 的置信区间 的样本 其中 为已知 为未知 求 的置信水平 设 是来自正态总体       − X X  Xn N

概率论与故理能外」 二、典型例题 例1设X1,X2,.,Xn是来自正态总体N(4,o2) 的样本，其中σ2为已知，4为未知，求的置信水平 为1-ax的置信区间. 解因为又是μ的无偏估计， 且U=X-'NO,I, σ/Wn -上~NO,I)是不依赖于任何未知参数的， ol/n

解 1 . , , , , , , ( , ) 2 2 1 2 为 的置信区间 的样本 其中 为已知 为未知 求 的置信水平 设 是来自正态总体       − X X  Xn N 因为 X 是  的无偏估计, ~ (0,1), / N n X U  −  且 = ~ (0,1) , / N 是不依赖于任何未知参数的 n X  −  例1 二、典型例题

由标准正态分布的下a分位点的定义知 概率论与赦理线计 Ps4-小-1-a 即Pg-员4-wss+a-w}=1-a 于是得的一个置信水平为1-a的置信区间 R-员山1-2，R+品山1-l 这样的置信区间常写成X±品山1-al 其置信区间的长度为L,=2× =1-a12 √

𝑃 𝑋ሜ − 𝜇 𝜎/ 𝑛 ≤ 𝑢1−𝛼/2 = 1 − 𝛼, 即 𝑃 𝑋ሜ − 𝜎 𝑛 𝑢1−𝛼/2 ≤ 𝜇 ≤ 𝑋ሜ + 𝜎 𝑛 𝑢1−𝛼/2 = 1 − 𝛼, 由标准正态分布的下 𝛼 分位点的定义知 于是得𝜇的一个置信水平为 1 − 𝛼 的置信区间 [𝑋ሜ − 𝜎 𝑛 𝑢1−𝛼/2 , 𝑋ሜ + 𝜎 𝑛 𝑢1−𝛼/2 ] 这样的置信区间常写成 其置信区间的长度为 ሜ[𝑋 ± 𝜎 𝑛 𝑢1−𝛼/2 ] . 1 2 1  / 2  =  u − n L

注意：置信水平为1-α的置信区间是不唯一的. 概率论与数理线针 例1设X1,X2,Xn是来自正态总体N(4,σ2) 的样本，其中σ2为已知，4为未知，求的置信水平 为1-u的置信区间. 如果在例中取n=16,o=1,ax=0.05, 查表可得u1-a12=4975=1.96, 得-个置信水平为0,95的置信区间仪±品×196] 由一个样本值算得样本均值的观察值x=5.20, 则置信区间为[5.20±0.49]，即[4.71,5.691

如果在例1中取 n =16,  =1,  = 0.05, 1.96, 查表可得 u1− / 2 = u0.975 = 得一个置信水平为0.95的置信区间 [𝑋ሜ ± 1 16 × 1.96] 由一个样本值算得样本均值的观察值 x = 5.20, 则置信区间为 [5.20 ± 0.49], 即 [4.71, 5.69]. 注意 : 置信水平为 1− 的置信区间是不唯一的 . 1 . , , , , , , ( , ) 2 2 1 2 为 的置信区间 的样本 其中 为已知 为未知 求 的置信水平 设 是来自正态总体       − 例1 X X  Xn N