《线性代数》课程教学资源（章节讲稿，C）3-3 向量组的秩与极大无关组

3-3向量组的秩与极大无关引例a00ael oael oa兰OcC?152+,a3找出向量组a,=l-α2中所有线性无关的部分组，8238-10S061001adl119ael10CBoo何换R(A) = 203%C12R/-11 :作矩阵A=00S0002&1 -1a2;as;a4含1个向量的线性无关组：α；含2个向量的线性无关组：四阳迎陶理含3个向量的部分组：α1,α2,α3，α1,α2,α4，α2,α,α4都线性相关，也线性相关

3-3 向量组的秩与极大无关 引例 组 找出向量组 中所有线性无关的部分组。 作矩阵 含1个向量的线性无关组： 含2个向量的线性无关组： ᵯ1 ,ᵯ2 ;    ᵯ1 ,ᵯ3 ;   ᵯ1 ,ᵯ4；ᵯ2 ,ᵯ3；ᵯ2 ,ᵯ4；ᵯ3 ,ᵯ4 ᵯ1 , ᵯ2 ,ᵯ3 ,ᵯ4

思考（1）线性无关的部分组所含向量个数是否存在最大值？（此例中，最大值为2）（2）最大规模的部分线性无关组是否唯一？（此例中，不唯一）（3）找出一个最大规模的部分线性无关组α1α2，其它向量能否由它线性表示?bi,b2,b3,ba,a2,ag,a40ad1100118aelBCC-.b,=b,-b2-b4=b,+bC0一2 -coR1-1.1-4=0a,=ai-a2ia=a,+a2310%02So01可以由它线性表示，且表示法唯一

思考 （1）线性无关的部分组所含向量个数是否存在最大值？ （此例中，最大值为2） （2）最大规模的部分线性无关组是否唯一？ （此例中，不唯一） （3）找出一个最大规模的部分线性无关组 ，其它向量能否由它线性表示 ？ 可以由它线性表示，且表示法唯一

一、向量组的秩与极大无关组定义若向量组T满足：（1）在T中有r个向量αα2,L,α，线性无关;（2）T中任意r+1个向量（如果有）都线性相关。则称α1,α2,L，α，是向量组T的一个极大线性无关组（简称极大无关组），数r称为向量组的秩。注1°极大无关组一般不唯一。但所含向量的个数是固定的，即为向量组的秩2°只含零向量的向量组秩为0，不存在极大无关组。3°线性无关的向量组a1.a2,L，as，本身即是极大无关组，秩为s

一、向量组的秩与极大无关组 定义 若向量组 T 满足： （1）在 T 中有 r 个向量 线性无关 ; （2）T 中任意 r+1 个向量（如果有）都线性相关 。 则称 是向量组 T 的一个极大线性无关组（简称极大无关组），数 r 称为向量组的秩。 注 1°极大无关组一般不唯一。但所含向量的个数是固定的，即为向量组的秩。 2°只含零向量的向量组秩为0，不存在极大无关组。 3°线性无关的向量组 ，本身即是极大无关组，秩为 s

4°向量空间R"是全体n维向量的集合（含无穷多个向量），其秩为n（1）基本单位向量组ei,e2,Le，是一个极大无关组al oa00a0°:-cC6o-0CMSMCM9.C.日：立S00600（2）任何n个线性无关的向量组也是极大无关组。（因任何n+1个n维的向量组都线性相关）

4° 向量空间 是全体 n 维向量的集合（含无穷多个向量），其秩为 n ； （2）任何 n 个线性无关的向量组也是极大无关组。 （因任何 n +1 个 n 维的向量组都线性相关） （1）基本单位向量组 是一个极大无关组；

向量组线性无关向量组的秩=向量组所含向量个数向量组线性相关口向量组的秩<向量组所含向量个数思考：矩阵的秩与向量组的秩有何联系？能否利用矩阵的初等变换求解向量组的极大无关组？加油！

向量组线性无关￾ 向量组的秩 = 向量组所含向量个数. 向量组线性相关￾ 向量组的秩 < 向量组所含向量个数. 思考：矩阵的秩与向量组的秩有何联系？能否利用矩阵的初 等变换求解向量组的极大无关组？

定理1若Am，/例等变榜?B,则A的任意 k个(1≤k≤n)个列向量与B的对应k个列向量有相同的线性相关性A, % 初等变势? Bk,证任取A的k个列向量所得A,X=0 与B,X=0 同时有非零解或只有零解A,的列向量与 B的列向量有相同的线性相关性行初等变换不改变矩陷列向量的线性关系加油！

B 的对应 k 个列向量有相同的线性相关性. 定理1 若 证 任取A的k个列向量所得 Ak X = 0 与 Bk X = 0 同时有非零解或只有零解. Ak 的列向量与 Bk 的列向量有相同的线性相关性. 则A的任意 k个( 1≤ k ≤ n)个列向量与 行初等变换不改变矩阵列向量的线性关系

行初等变换不改变矩阵列向量间的线性关系加油！

行初等变换不改变矩阵列向量间的线性关系

对矩阵A作初等行变换如下：313e1e11OuOu3ee-3uu225-1-1u@6002- 644i- 16é1103i31o ugi g2 g3 g4éle1202-1g4 =gt +2 g2 - g3<0S00000-111--1103 iel107uA10=02山eu00111+ 2b.h三b加油！

对矩阵A作初等行变换如下 ：

矩阵A的列秩：A的列向量组的秩：矩阵A的行秩：A的行向量组的秩定理2 矩阵的 行秩=列秩=矩阵的秩证 设 R(A)=r， A% 例初等? B(行阶梯形矩阵),B有r个非零行，B的r个非零行的非零首元素所在的r个列向量线性无关，为B的列向量组的极大无关组加油！

矩阵A的列秩：A的列向量组的秩； 矩阵A的行秩：A的行向量组的秩. 定理2 矩阵的 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩. 证 设 R(A) = r, B有 r 个非零行，B的r 个非零行的非零首元素 所在的r 个列向量线性无关，为B的列向量组的 极大无关组

A中与B的这r个列向量相对应的r个列向量也是A的列向量组的极大无关组.故A的列秩等于r.同理，由R(A)=R(A),及A的行向量即 AT 的列向量,可得A的行秩等于r。加油！

A中与B的这 r 个列向量相对应的r 个列向量也是 A的列向量组的极大无关组.故 A 的列秩等于 r . 同理，由R(A) = R(AT), 及A的行向量即 AT 的列向量， 可得A的行秩等于 r