《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第2章 第3讲 隐函数及由参数方程

高等数学（上册）第2章导数与微分第3节隐函数及由参数方程确定的函数求导人民邮电出版社POSTS&TELECOMPRESS

高等数学（上册） 第3节 隐函数及由参数方程 确定的函数求导 第2章 导数与微分

R人邮教育本讲内容w,ryjiaoyu.c01隐函数的导数02对数求导法03由参数方程确定的函数的导数

01 隐函数的导数 02 对数求导法 03 由参数方程确定的函数的导数 本 讲 内 容

O0ARA人邮教育隐函数的导数y=x2+1显函数：由=f(x）表示的函数例如：若由方程 F(x,y)=O可确定y是x的函数隐函数：隐函数 x-3-1=0—显函数 =/-x例如ys +2y- x- 3x7 =0此隐函数不能显化eyyeoF(x,y) =0隐函数求导方法：两边对x求导dF(x,J)=0(含导数的方程)dx

一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数. 由 表示的函数. 例如 显函数 此隐函数不能显化 隐函数： 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 e yᵆ xy￾ e￾ 0 显函数： 隐函数 例如：

01隐函数的导数P人邮教育对由方程F(x,V)=0确定的函数求导数，可以将方程F(x,y)=0的两边分别对x求导数，然后把yc解出来

4 对由方程 确定的函数求导数，可以将方程 的两边分别对x求导数，然后把 解出来. 01 隐函数的导数

01隐函数的导数COAO人邮教育RAdy求由方程e"+xy-e=0所确定的隐函数的导数例dxC解D把>看成是x的函数，方程两边同时对x求导，得dydyex=0dxdx整理得dy+x2三（dx解得dyydxer+x

5 例 1 把 看成是x 的函数，方程两边同时对x 求导，得 ， 整理得 解得 解 01 隐函数的导数 ， 求由方程 所确定的隐函数的导数

01隐函数的导数OOOOR人邮教育例求由方程xy=e+所确定的隐函数y=y(x)的导数，1C解把>看成是x的函数，方程两边同时对x求导得y+xye=e*+y(l+y9,整理得exs-y解得VOX-et

6 例 2 求由方程 所确定的隐函数 的导数． 把 看成是x 的函数，方程两边同时对x 求导， ， 整理得 ， 解得 ． 得 解 01 隐函数的导数

01隐函数的导数OOOOR人邮教育3求由方程J5+2y-×-3x7=0所确定的隐函数在例x=0处的导数y4-0解把y看成是x的函数，方程两边同时对x求导，得5y4 xye+ 2ye- 1 - 21x° =0解得1+21x6ve-5y4+2将x=0代入原方程，得y=0，代入上式得2

7 例 3 01 隐函数的导数 求由方程 所确定的隐函数在 x = 0 处的导数 把 看成是x 的函数，方程两边同时对x 求导， 解得 解 得 ， ， 将 x = 0 代入原方程，得 y = 0，代入上式得

01隐函数的导数OOOOR人邮教育例求由方程x-V十cOSy=O所确定的隐函数的二阶导数QO解把看成是x的函数，方程两边同时对x求导，得1 - ye+(- sin y)xye=0 ,解得1ve1 +sin y上式两边同时对x求导，得ys- (- cos y) xyecOS y(1 +sin y)3(1 + sin y)?

8 例 4 把 看成是x 的函数，方程两边同时对x 求导，得 ， 解得 解 01 隐函数的导数 求由方程 所确定的隐函数的二阶导数. 上式两边同时对 x 求导，得

01OOA0i隐函数的导数R人邮教育3V3)处的切线方程1在点(2,求椭圆例2916O解把y看成是x的函数，方程两边同时对x求导，得2xye=08解得9 xve=16 y3号)代入，得切线斜率为将点(2,T4213故所求切线方程为(x- 2)即/3x+4y-8/3=0C4

9 例 5 01 隐函数的导数 把 看成是x 的函数，方程两边同时对x 求导， 解得 解 得 求椭圆 在点 处的切线方程. 将点 代入，得切线斜率为 故所求切线方程为 即

01OOOOR隐函数的导数人邮教育6例求由方程x-y+=siny=O所确定的隐函数=y(x) 的二阶导数y2.Co解方程两边对x求导，得1-ye+=cosyxye=022解得y-2- cos y-2sin y xyg上式两边再对x求导，V(2 - cosy)2再将yc-代入得2- cosy-4sinyV(2 - cos y)

例 6 10 解 求由方程 所确定的隐函数 的二阶导数 . 方程两边对x求导，得 解得 上式两边再对x求导， 再将 代入得 01 隐函数的导数