《线性代数》课程教学资源（章节讲稿，C）2-3 拉普拉斯定理

2-3拉普拉斯定理定义（行列式的 k 阶子式）在n阶行列式D中，任取k行kkfn)，在行列交叉点的k2个元素按原的相对粒置组成的 k阶行列式 S，称为行列式 D 的一个k 阶子式。在 D 中划掉 S 所在的k行k列，余下的元素按原来的相对位置组成的k阶行列式M称为S的余子式的代数余子式：A=(-1)++L+)(+/2+L+J)M例如D:A=(- 1

2-3 拉普拉斯定理 在 n 阶行列式 D 中,任取 k 行 k 列 ，在行列交叉点的 k 2 个元素按原 来 定义 （行列式的 k 阶子式） 的相对位置组成的 k 阶行列式 S ，称为行列式 D 的一个 k 阶子式。在 D 中划掉 S 所 在的 k 行 k 列，余下的元素按原来的相对位置组成的 阶行列式 M 称为 S 的余子 式S 的。代数余子式： 例如

定理（拉普拉斯定理）在 n 阶行列式 D中,任取 k行kfn-1)，则由这k行组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于D。若k=1，拉普拉斯定理即为行列式按-一行展开。23121....- 104例如所有2阶子式有D2224..33-12其代数余子式分别为D=- 68(

定理 （拉普拉斯定理） 在 n 阶行列式 D 中,任取 k 行 ，则由这 k 行组成的所有k 阶子式与 它们的代数余子式的乘积之和等于D 。 若 k = 1 ，拉普拉斯定理即为行列式按一行展开。 例如 所有 2 阶子式有 其代数余子式分别为

20010120/0例1计算行列式D=010200211000220解：按1、2行展开，值不为零的二阶子式有=3,1121000101一1其代数余子式分别为0202= 01=- 3,1212020211D=3'4+2(-3)+1'0=6

例1 计算行列式 解：按 1、2 行展开，值不为零的二阶子式有 其代数余子式分别为

分块矩阵的行列式计算aeB00mm（1）分块对角矩阵[A =BC]三A=ceeCrno0*ceBm m:O---[A| =[B| C]A:（2）分块三角矩阵cere0CrnoaB00mn[A=BC二A=cee*Chno

分块矩阵的行列式计算 （1）分块对角矩阵 （2）分块三角矩阵

aB0望，其中O是零矩阵，B和D是可逆矩阵，求4例2设分块矩阵A=Do&CX,0X.解：由拉普拉斯定理可知A=BDI0，故A可逆，设A=三SxX40其中X，与B是同型矩阵，X与D是同型矩阵，由矩阵乘法，oal00BX,BX,aB OeX, X,oaB OeX,X,oaAA-l_ a20C DEX, XO-CDX,XCX,+DX,CX,+DXi X, =B-1iBX, =11I BX, = 0B-1得ix,=00ae故A1-BoceODCB-1ICX, + DX, =0IX, =- D-'CB-I0iCX, +DX, =OI X, = D-

例2 设分块矩阵 ，其中 O 是零矩阵，B 和 D 是可逆矩阵，求 解：由拉普拉斯定理可知 ，故 A 可逆，设 其中 X1 与 B 是同型矩阵， X4 与 D 是同型矩阵，由矩阵乘法， 故 得