《线性代数》课程教学资源（章节讲稿，C）2-2 n阶行列式的性质与计算

2-2行列式的性质和计算、行列式的性质性质1n阶行列式按任一行展开，其值相等，即det A=a,A, +a2A,+L +amA,=a a,A(i=1,2,L ,n)推论若行列式的某行元素全为零，则行列式的值为零。60015-13- 2例1计算行列式 D=0020314- 30603-2=12解：按第二行展开D=2(-1)3+235-2=-2'64-341-3

2-2 行列式的性质和计 一、行列式的性质 算 性质1 n 阶行列式按任一行展开，其值相等，即 推论 若行列式的某行元素全为零，则行列式的值为零。 例1 计算行列式 解：按第二行展开

Lauaj2ainLa22a2n因此，可以化成上D例2计算n阶上三角行列式0L三角来求。am解：可按第n行展开Laain-1a2La22a2n-1D, =(- 1)"+=a.D..n-1 =aman-In-Dn-2 =aman-In-L an+nam0Lan-In-1 In-1=am2L amm

例2 计算 n 阶上三角行列式 解：可按第 n 行展开 因此，可以化成上 三角来求

性质2若n阶行列式的某两行元素对应相等，则行列式的值为零用数学归纳法证明：当n=2时，由对角线展开法，结论显然成立；假设当n=k（k33)时q,结论成立，即s=1,2,L,n）D,=0且令n=k+1D，按第k+1行展开，则k+=ak+1Ak+11+ak+12Ak+12+L+ak+1k+1Ak+1k+其中 Ak+11,Ak+12,L,Ak+1k+1都是k阶行列式，且第i行与第等证毕故Dk-↑ = 0由假设可知Ak+11=Ak+12=L =Ak+1k+1=0

性质2 若 n 阶行列式的某两行元素对应相等，则行列式的值为 零。 用数学归纳法证明： 当 时，由对角线展开法，结论显然成立； 假设当 时，结论成立，即 且 令 ， 按第 k+1 行展开, 则 其中 都是 k 阶行列式，且第 i 行与第 j 行元素对应相 等 由假设可知 证毕，故

性质3（可加性）LLLa12aua/2ainaaj1ai2ainanLLLLLLLLLLLLb.LLbinb,2Lbinb., +Cib,z +C,2+Ci+CinCi2CinLLLLVLLLLLLLLLLanlan2anlanlan2aannan2an证明：将左端行列式按第i行展开，得D=(b, +c,)A, +(b2 +c2)A2 +L +(b.m+cm)Am=(b,A, +b,A2 +L +bmAm)+(c,A, +C2A, +L +cmAm)= D, + D,证毕

性质3 （可加性） 证明：将左端行列式按第 i 行展开，得 证毕

性质4（行列式的初等变换）（1）行列式的某{k，等于用数k乘以此行列式;行元素都乘以同一个数-LL证明：aauna.anai2ai2LLLLLLLLka,ka,2Lka..设D=则=ka,A, +ka,A, +L +ka.A,La,tai2a..LLLLLLLLLannan2a,ntL=k(a,A +a,A,+L +a.A,)=kDanan2amm推论①行列式的某-行元素的公因子可以提到行列式前面；LLaanaua2anai2LLLLLLLLka,ika,2LkainL=ka,ia;2ainLLLLLLLLLLan2asna,an2anamn

性质4 （行列式的初等变换） （1）行列式的某一行元素都乘以同一个数 k ，等于用数 k 乘以此行列式； 证明： 设 则 推论 ① 行列式的某一行元素的公因子可以提到行列式前面；

性质4（行列式的初等变换）（1）行列式的某一行元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式；推论2)若行列式的某两行对应元素成比例，则行列式的值为零。LTaa,ainanLLLLa,ia,nak0=0Lkaana,iannamaa

性质4 （行列式的初等变换） （1）行列式的某一行元素都乘以同一个数 k ，等于用数 k 乘以此行列式； 推论 ② 若行列式的某两行对应元素成比例，则行列式的值为零

性质4（行列式的初等变换）（2）行列式的某一行元素都乘以同一个数k后，加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；L证明：LLLaiaanailainanananLLLLLLLLLLLLLLam一a,a,ana,iaina,jain1LLLLLLLLka.Lai+ka,am+kamVajajmaj1ajnkairLLLLLLLLLLLLLLLanlamnanlaniaananlanan值为0

性质4 （行列式的初等变换） （2）行列式的某一行元素都乘以同一个数 k 后，加到另一行的对应元素上，行列式 的值不变； 证明： 值为0

性质4（行列式的初等变换）（3）互换行列式的两行元素，行列式变号证明LaLLainauainanainLLLLLLLLLLLLaiaima,najn- a,i- anLLLLLLLLLr+rr+r元LLLaiaiman+ana.n+ajma, +a,am+ajmLLLLLLLLLLLLamannanlCman!ann

性质4 （行列式的初等变换） （3）互换行列式的两行元素，行列式变号。 证明：

LLaiauanainLLLLLLLLana,t- ainOu=- DLLLLLLLLajna,ia.manLLLLLLLanlannLannanlkr;kr +r行列式的初等变换r《

行列式的初等变换

6an- 2a12- 8aj3aa13ai2例3设D=4计算行列式- 3a21=2a21a22a23a22- 3a314a33a31a32a32a33a, +b,a, +b,aja, +b,aza,=2b,例4证b,b,b, +c,b, +Csb, +c,明C,+a, C+a2C, +aCiC3C2

例3 设 ，计算行列式 例4 证 明