《线性代数》课程教学资源（章节讲稿，C）2-4 克拉默法则

2-4克拉默法则341引入 讨论行列式 D=0212-11用对角线展开法可得D=8第一行元素1、3、4的代数余子式分别为计算A+i2A2+ai3A及a2iA+a2242+24/3

2-4 克拉默法则 引入 讨论行列式 第一行元素 1、3、4 的代数余子式分别为 用对角线展开法可得 计算 及

引理1行列式的一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即aiA,+a,2A,2+L +amAm=a aikAk=0(1 j;i,j=l,2,L ,n).k=lLLanauiaunain证明LLLLLLLLa,iCina,ianD=L=0LLD, LLLLajajnaainHLLLLLL对应元素有相同代数余子式LLannanamanl

引理1 行列式的一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即 证明 对应元素有相 同代数余子式

单选题1分设置四阶行列式的第3行的元素为-1.0,2.4，第4行对应的代数余子式为5.10,a.4.则a=(16-5.50-11提交

-5.5 0 -1 1 A B C D 提交 单选题 1分

填空题设置1分040)/32222求A =的第4行个元的代数余子式之和是【填空1]000-72153-2作答

作答 填空题 1分

定义（伴随矩阵）Laungaai1ai2OLa22a2n:ca21设n阶方阵称下列矩阵A*为A的伴随矩阵：AXCLLL0丰.Lan2amoLA21An aA1O其中A.是α,的代数余子式LA22Am2 -A=5A2-CLL0L小.LA2nAun03- 8201920010 °：727- 7+例如矩阵A=4的伴随矩阵是833- 5&- 111

定义 （伴随矩阵） 设 n 阶方阵 , 称下列矩阵 为 的伴随矩阵： 例如矩阵 的伴随矩阵是

引理2则 AA"=A"A=|AI设A是 n阶方阵，0L00αALA21L:0:Anla12dinoaAraa10C+CALLL0CA12A22An2:a22a2nca21AA"=证明=AI六-SL-CLLSLLL0L0LL0ciceSa主000AznLLLAAmoan21则定理1设A可逆，AA3018244-51例1求矩阵4=1的逆矩阵。0ae.C7737&- 11C一111a2- 810 °一=cB0.1122N2 c77A- 7:14951+c3Ace小3- 51?ce1414140

引理2 证明 定理1 例1 求矩阵 的逆矩阵

单选题1分设置若A1242-3提交

A B C D 提交 单选题 1分

ad1193021-,求(A)例2设矩阵A=C1el101 1 3C22219Xad11:（AAA*=AA=AI-112c22-3821c13:182220，求(2A)"-3A*例3设A是3阶方阵，且A解：(2A)=1A3A=3AA-1=A-1o18ae(2A)"-3A884

例2 设矩阵 ，求 例3 设 是3阶方阵，且 ，求 解：

例4设矩阵A可逆，B与A是同型矩阵，且A*B=A-1+B，证明B可逆证明：由题设可知（A-I)B=A则A"-B=A"0即有B！O，从而B可逆，A-【也可逆。且 B=(A"- I)"AI =(A(A"- D))"-(AA*- A)"=(AI- A))600R例如，给定 A=2co6+2#00αl1100- 600a6:0.-1aelc1C可得 B=(4/-4)"=(81-4)~-201-.016CO-1- 6.-661S000100S00061

例4 设矩阵 A 可逆， B 与 A 是同型矩阵，且 ，证明 B 可逆。 证明：由题设可知 ， 则 即有 ， 从而 B 可逆， 也可逆。 且 例如，给定 可得

伴随矩阵的相关结论(1AA=AA=AI0（2）若A可逆A-A"|=|A"-1 ((3(n>1))

伴随矩阵的相关结论 （1 ） （2） 若 A 可逆 （3 ）