《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章_3.5曲线的凹凸性及函数作图

3.5曲线的凹凸性及函数作图01曲线的凹凸性与拐点02曲线的渐近线03函数作图

曲线的渐近线 曲线的凹凸性与拐点 02 01 3.5 曲线的凹凸性及函数作图 03 函数作图

OA引入研究了函数的单调性后，仍不能准确描绘曲线变化的特点，还需知道曲线的弯曲方向，即凹凸性0X如图中曲线弧AC是单调上升的.但曲线弧AB是向上凸的曲线弧BC是向下凹的.点B是上凸和下凹的分界点，称为拐点

引入 2 研究了函数的单调性后，仍不能准确描绘曲线变化的特点，还需知 道曲线的弯曲方向，即凹凸性. 如图中曲线弧AC是单调上升的, 但曲线弧AB是向上凸的，曲线弧BC是 向下凹的.点B是上凸和下凹的分界点，称为拐点

OA引入问题：如何研究曲线的弯曲方向？0X0XX,xx,图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的上方

引入 3 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方

OOA、曲线的凹凸性与拐点设函数f(x)在区间/上连续，对/上任意两点x，和x2，总有定义3.2faex, +x, of(x,)+f(x)220则称在区间1上的图形是凹的，如下图；f(x )+ f(x, )y2TX+X2Xf?if2---x1X2x

一、曲线的凹凸性与拐点 4 定义3.2

OO00、曲线的凹凸性与拐点f(x)+ f(x.)aex+x, o若总有1022则称在区间1上的图形是凸的，如下图f(+x)12f (xx2f (x):f(x2)xx1X2

一、曲线的凹凸性与拐点 5

V曲线的凹凸性与拐点连续曲线上凹凸区间的分界点，称为曲线的拐点定义3.3注:(1)拐点是曲线上的点，应以坐标点(x，f(x））表示(2)注意跟极值点x=x.表示形式的不同

一、曲线的凹凸性与拐点 6 定义3.3

A曲线的凹凸性与拐点Byf(x)A1obaXa0byooyOf(x)递增f(x）递减

7 一、曲线的凹凸性与拐点

COAM、曲线的凹凸性与拐点定理3.12设f(x)在[α,b]上连续，在(α,b)内二阶可导，那么(1)若对"xl（a,b)，f减x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)若对"xi（a,b)，fx)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的求函数凹凸区间和拐点的步骤(I)确定函数的连续区间；(2)求出函数的二阶导数，并解出二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点，划分连续区间；(3)依次判断每个区间上的二阶导数的符号，利用定理3.12判断每个区间的凹凸性，并进一步求出拐点坐标

一、曲线的凹凸性与拐点 8 定理3.12

OOA、曲线的凹凸性与拐点例求曲线?443+25的凹凸区间与拐点◎解定义域为(-00,+8）y" = 12x2 - 24x = 12x(x - 2), 4- 12+ 2,令y"=0,解得x1=0,x2=2(2,(0 2)1(- 8, 0)x20600拐点拐点凸的凹的凹的口(2, - 17)(0,- 5)S

9 一、曲线的凹凸性与拐点 例 1 求曲线ᵆ= ᵆ4 − 4ᵆ3 + 2ᵆ− 5的凹凸区间与拐点. 解 ᵆ′ = 4ᵆ3 − 12ᵆ2 + 2, ( − ∞, 0) (0 ,2) ᵆ′′ ᵆ 凹的 凸的 凹的

O曲线的凹凸性与拐点求曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程i>0.(x>1)222(x2 - 1)= 0,(x = 1)先求拐点：ye=2x+VC=解x2x1<0.(0<x<1)由此得唯一拐点(1,1)，当x=1时y(1)=4于是拐点处切线方程为y=1+4(x-I),即y= 4x- 3

一、曲线的凹凸性与拐点 10 例 2 解