《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第四章_4.2第一换元积分法

高等数学（上册）（慕课版）第四章不定积分第二讲第一换元积分法主讲教师人民邮电出版社RISSAHTOTRES

主讲教师 | 第二讲 第一换元积分法 高等数学（上册）（慕课版） 第四章 不定积分

OOA第二讲第一换元积分法设f(u)有原函数F(u),且u=i(x)是可导函数,则定理4.3ofi (x) x)dx=Fli (α)]+C该公式称为第一换元公式.一般地，如果被积函数g(x)可以写成fi（x)idx)，可如下进行：u=j(x)(x)=uOg(x)dx= of [i (x)]d[i (x) ]Fi (x)]+C.of(u)du=F(u)+C上述求不定积分的方法称为第一换元积分法，又称为微分法注

第二讲 第一换元积分法 2 定理4.3 注

OA第二讲第一换元积分法求dx (a>0)5一dx1解29COXadxFx2a+xX1a+xtCInlg-x+lnlg+xD+e2a2aa-x类似可得-CO2aa+x

第二讲 第一换元积分法 3 例 1 解

0O?7第二讲第一换元积分法求ocsc xdx.例21sin x dx解法一oescxdxdrsinxsin" x1dcosxcosx利用例1结论，得cosx)1- cosx工原式=(221- cos? x1+cosxcos.x=ln+C=In|cscx- cot x|+Csinx

第二讲 第一换元积分法 4 例 2 解法一

谷K第二讲第一换元积分法aerod82dx0解法二oescx dx = 0xxxx2sintancOScos一xn2x22222sinsin22tanxoae2XXXdtan:2sincOsCOSe20X222In+tan福2x1- cosxtancscr- cotr2sinx= In cscx - cot x+CL

第二讲 第一换元积分法 5 解法二

>个第二讲 第一换元积分法1(cscx- cotx)cscx-dxocsc x dx =解法三Ccscx- cotxcsc x - cscxcot xdxcscx - cot x1d(cscx - cot x)cScx-cot x= In | csc x - cot x +C.类似可得osec x dx = In sec x + tan x +C

第二讲 第一换元积分法 6 解法三

0?A第二讲第一换元积分法求不定积分cosxsinxdx例ocos xsin' x dx = ocos xsin' x d sin xD解= 1- sin x)sin xdsin xOsin' x d sin x- Osin' x dsin x1sin°x+C.sin°x-86

第二讲 第一换元积分法 7 例 3 解

A第二讲第一换元积分法几种常用的凑微分求解的形式：() of(au +b)du==of(au +b)d(au +b), (a' 0);2(2) of(au" +b)u"-'du =--of(au" +b)d(au" +b), (a / 0,n + 0):na(3) of(a" +b)a"duof(a" +b)d(a" +b), (a> 0,a 1 1);Ina(4) of(Vu)du=20f(Vu)d(vu);Vu(5) or()du=- of(();uuu8

第二讲 第一换元积分法 8

K谷第二讲第一换元积分法(6) of(lnu)-du=of(lnu)d(lnu);u(7) of(sinu)cos udu = of(sinu)d(sinu);(8) of(cosu)sin udu =- of(cosu)d(cosu);(9) of(tan u)sec udu =of(tanu)d(tanu);1du =of(arcsin u)d(arcsinu);(10) of(arcsinu)V1- uu1-of(arctan ")d(arctan =), (a>0);(11) f(arctandaa1aaaudu=In|f(u)+C1f(u)

第二讲 第一换元积分法 9

OA第二讲第一换元积分法ainx求下列积分（1)oxf(x)fdx)dx;21Xx(1)设u=x2，则解Or f(x)fdx)dx =of(1of(u)f&u)du5of(u)df(u)2AI() +C4Lf(x)) +C

第二讲 第一换元积分法 10 例 4 解