《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章_1.4 无穷小与无穷大

1.4无穷小与无穷大无穷小0102无穷大03无穷小阶的比较04等价无穷小代换

1.4 无穷小与无穷大 01 无穷小 02 无穷大 03 无穷小阶的比较 04 等价无穷小代换

COA7引入0.999...?110.999…－1]多大呢?[0.999…一11可以用实数来表示吗？像这样大于0小于任意给定正实数的量究竟是什么呢？

引入 0.999 ⋯?= 1 像这样大于0小于任意给定正实数的量 究竟是什么呢？

OAH一、无穷小1.无穷小的定义如果limf(x）=0，则称函数f(x）为当x?x。时的无穷小定义1.14XRX,(1)一个变量是否为无穷小，除了与变量本身有关，还与自变量的注变化趋势有关；(2)无穷小不是绝对值很小的常数，而是在自变量的某种变化趋势下，函数的绝对值趋近于0的变量.特别的，常数0可以看成任何一个变化过程中的无穷小

一、 无穷小 定义1.14 注 1. 无穷小的定义

黄鹤楼送孟浩然之广陵唐李白故人西辞黄鹤楼烟花三月下扬州。孤帆远影碧空尽唯见长江天际流

O?无穷小的发展历程公元前古希腊时代已经意识到无穷小量的存在，但穷竭法绕开了与无穷小的正面冲突。16世纪，卡瓦列里提出“面积是有无数个等距平行线段构成的，体积是有无数个平行的平面面积构成的”。他分别把这些元素称为面积和体积的不可分量。这里不可分量就是无穷小量，但当时卡瓦列里没有办法严密地说明无穷小量。17世纪，以无穷小量为基础的微积分的建立，但由于对无穷小量的解释不清，引发许多人对微积分的攻击，历史上称为“第二次数学危机”。18世纪，柯西用极限来说明无穷小量，而后由魏尔斯特拉斯给出极限的严格定义，完成了微积分体系的严密化

无穷小的发展历程 公元前古希腊时代已经意识到无穷小量的存在，但穷竭法绕开 了与无穷小的正面冲突。 16世纪，卡瓦列里提出“面积是有无数个等距平行线段构成的， 体积是有无数个平行的平面面积构成的”。他分别把这些元素称为 面积和体积的不可分量。这里不可分量就是无穷小量，但当时卡瓦 列里没有办法严密地说明无穷小量。 17世纪，以无穷小量为基础的微积分的建立，但由于对无穷小 量的解释不清，引发许多人对微积分的攻击，历史上称为“第二次 数学危机” 。 18世纪，柯西用极限来说明无穷小量，而后由魏尔斯特拉斯给 出极限的严格定义，完成了微积分体系的严密化

A2.无穷小的运算法则性质1.1有限个无穷小的和、差、乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小性质1.2常数与无穷小的乘积是无穷小推论

2. 无穷小的运算法则 性质1.1 性质1.2 推论 有限个无穷小的和、差、乘积是无穷小

OOA无穷小的运算法则无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小注12n中每一项均为++n2+n+1n2+n+2n?+n+n无穷小，但21nlim(+12nR?+n+2+n+ln2+n+nnn

注 无穷小的运算法则

O3.无穷小与函数极限的关系limf(x)=A的充分必要条件是f(x)=A+α定理1.17x?Xo其中α=α(x)是当x?x时的无穷小，即lima (x)=0.X?X对于自变量趋于无究时，上述结论仍成立

3. 无穷小与函数极限的关系 对于自变量趋于无穷时，上述结论仍成立. 定理1.17

无穷小与无穷大1..401无穷小02无穷大03无穷小阶的比较04等价无穷小代换

01 无穷小 无穷大 03 无穷小阶的比较 04 等价无穷小代换 02 1.4 无穷小与无穷大

引入A大武年天一机尔世吉法春色法围阁工位一枝和老出情来张十大要堂估人代性七社七里秀日南宋叶绍翁《游园不值》

南宋￾￾叶绍翁￾￾ 《游园不值》 引入