《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章_3.6弧微分与曲率

高等数学（上册）（慕课版）第三章微分中值定理与导数的应用第六讲弧微分与曲率主讲教师！人民邮电出版社RISS&HIIOTRES

主讲教师 | 第六讲 弧微分与曲率 高等数学（上册）（慕课版） 第三章 微分中值定理与导数的应用

本讲内容01弧微分02曲率03曲率半径与曲率圆

本讲内容 曲率 弧微分 03 曲率半径与曲率圆 02 01

0000弧微分定义曲线y=f(x)上的弧值函数s=s(x)y=f(x)设f(x)在(a.b)内有连续导数yMM1M.(xa.yo)作为度量弧长的基点；规定：x增大的方向为曲线的正向---0xxXo

一、弧微分 3 定义

OOA弧微分对曲线上任一点M(x.J)，规定有向弧段M.M的值s：①S的绝对值为弧段的长度f(x)J=②当方向与曲线的正向一致时，s>0:M.M③当方向与曲线的正向相反时，S<0显然，s是x的函数s=s(x），且单调增加0xxxo

一、弧微分 4

C0一、弧微分Ds弧微分公式ds=？ds = sdx)dDxDsds=lim先求s=s(x)的导数Dr? 0 DxdxM(x)V在x处给自变量x一增量DxMoM相应的有向弧段的值s有增量Ds.xDs =M,Me- M,M = MM@0x-x+ Dx xxoMMdMMdDsDsMMDxDxDxMMDxDs与Dx总是同号的-

一、弧微分 5

OOA0弧微分MMdM[(Dx) +(Dy)f (x)tV=1MoMMd(Dx)MdsDslimdxDr@oDx0x-x+ Dx xXouMM0aDyU=lim&Dx 0QDx? 0时，M? MDrRoeMMduuMM$= /1 +(ve)limMMdMRMDy弧微分公式ds=yi+ yedrlimyeDrR 0Dx

一、弧微分 6 弧微分公式

本讲内容弧微分01曲率0203曲率半径与曲率圆

本讲内容 曲率 弧微分 03 曲率半径与曲率圆 02 01

A二、曲率1.定义3.5曲率描述：曲线的弯曲程度MMM.M,NMM.MAM.MMjj=jC

二、曲率 8 描述：曲线的弯曲程度

A二、曲率曲线的弯曲程度与下列两个量有关：M（1）切线转过的角度；（2）弧段的长度MM+Daa(x曲率：单位弧长上切线所转过的角度设MM的长度为Ds，切线转过的角度为Da

二、曲率 9 曲线的弯曲程度与下列两个量有关： （1）切线转过的角度； （2）弧段的长度. 曲率：单位弧长上切线所转过的角度

0OA7二、曲率+7平均曲率：Da-MM的平均弯曲程度DsMDaKDsMM+ DaaDaK = lim平均曲率的极限0xDRODsdaDa若 lim存在，则K=?KdsDsDR0C

二、曲率 10 平均曲率的极限 平均曲率：