《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，C）第一章 1-4克拉默法则

第一章行列式$ 1.4克拉默法则

第一章 行列式 §1.4 克拉默法则

第一章行列式一、克拉默法则aiX, +ai2X2 +...+ainx, = ba21X+a22X2+...+a2nXn=b(1)设线性方程组anXi+an2x,+...+anx,=b1若常数项b,b,,,b,不全为零，则称此方程组为非齐次线性方程组；若常数项b,bz…,b,全为零此时称方程组为齐次线性方程组

第一章 行列式 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                    设线性方程组 1 2 , , , n 若常数项b b b 不全为零， 则称此方程组为 非齐次线性方程组; 1 2 , , , n 若常数项b b b 全为零， 此时称方程组为齐次线性方程组. 一、克拉默法则

第一章行列式线性方程组(1)的系数构成的行列式aila12a1nan1(222nDanman2ann称为方程组(1)的系数行列式

第一章 行列式 线性方程组(1)的系数构成的行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1  称为方程组(1)的系数行列式

第一章行列式如果线性方程组(1)的系数定理1.4.1（克拉默法则）行列式D≠0那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以表为D.DDXDDDD其中D，是把系数行列式D中第i列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即b.au...ai,j-1ai,j+1...ainDba1n,j-1n,j+1nnnn

第一章 行列式 . D D , , x D D , x D D , x D D x n     n  3 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1      定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为 D  0

第一章行列式例用克拉默则解方程组2x +x, -5x + x = 8,xi -3x, -6x4 = 9,2x2 - Xs +2x = -5,Xi +4x2 -7x3 +6x4 = 0解1357212r,-30-660D=-122r-r12201207-764-7

第一章 行列式 例 用克拉默则解方程组                       4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1      D  1 2 2 r  r 4 2 r  r 0 7 7 12 0 2 1 2 1 3 0 6 0 7 5 13     

第一章行列式1337-3-5-5C +2c22002C3 + 2c2127-217-7-73327,=-218158590-690-3-6D,D21-51252106.7064-7= -108,= 81

第一章 行列式 7 7 12 2 1 2 7 5 13      1 2 2 c  c 3 2 2 c  c 7 7 2 0 1 0 3 5 3        7 2 3 3      27, 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1       D   81, 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2      D   108

第一章行列式2288111599-6D4:D=2225-56010一= -27,27,=D-10881D,3.X2D27D2727DA27D3一1X4-1X327DD27

第一章 行列式 1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3    D   27, 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4      D   27, 3, 27 81 1  1    D D x 4, 27 108 2 2      D D x 1, 27 27 3 3      D D x 1. 27 4 27 4    D D x

第一章行列式二、齐次线性方程组的相关定理当b,b,b,全为零时，对应的齐次方程为aux +ax, +...+a,x, =0a2x,+ax,+...+a2nx,=(2)anx +anx, +..+amx,=0显然，齐次线性方程组一定有解X =X =...=x, = 0即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组(2)的零解

第一章 行列式 二、齐次线性方程组的相关定理 2 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1                    n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     1 2 , ., n 当b b b ， 全为零时，对应的齐次方程为 1 2 . 0 n x x x     显然，齐次线性方程组一定有解， 即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组(2)的零解

第一章行列式推论如果齐次线性方程组（2)的系数行列式D+0则齐次线性方程组(2）只有零解且(2)有非零解的充分必齐次线性方程组定理1.4.2要条件是它的系数行列式必为零

第一章 行列式 定理1.4.2 齐次线性方程组 有非零解的充分必 要条件是它的系数行列式必为零. 2 推论 如果齐次线性方程组 的系数行列式 D  0 则齐次线性方程组 只有零解. 2 2

第一章行列式例问取何值时，齐次方程组(1-a)x -2x,+4x =0,2xi +(3-2)x2 + x3 = 0,x +x +(1-)x = 0有非零解？解:4一2-3+21-2221-212D=3-2二0111-27

第一章 行列式 例 问 取何值时，齐次方程组                        1 0, 2 3 0, 1 2 4 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x    有非零解？  解:         1 1 1 2 3 1 1 2 4 D           1 0 1 2 1 1 1 3 4