《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第五章 二次型_第二节 正定二次型_5.2 正定二次型

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第五章二次型C=a2第二节Car正定二次型06数（和十）六业

第二节 正定二次型 第五章 二次型

线性代数第二节正定二次型f(x,x2,...xn)=x+x?+...+x2(ai,a2... an)O,a,R,f(ai, az,..... an)=a?+a +... + an2>0.定义如果任一非零实向量X=(X,X2，.…,x,)T都使f(X)=XTAX>0,则称f(X)为正定二次型，f(X)的矩阵A称为正定矩阵正定矩阵A首先是一个实对称矩阵fX)=XTAX为正定二次型口A为正定矩阵高教育出社11新时代大学数学系利教材

第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 f (x1 , x2 , ., xn ) = x1 2 + x2 2 + . + xn 2 ￾ (a1 , a2 , ., an ) ￾ 0, ai ￾ R, f (a1 , a2 , ., an ) = a1 2 + a2 2 + . + an 2 > 0. 定义 如果任一非零实向量 X = (x1 , x2 , ., xn ) T 都使 f (X) = X TAX > 0, 则称 f (X) 为正定二次型， f (X)的 矩阵A 称为正定矩阵. 正定矩阵 A 首先是一个实对称矩阵. f (X) = X TAX 为正定二次型 ￾ A 为正定矩阵

线性代数第二节正定二次型例1设A，B都是n阶正定矩阵.证明：kA+IB也是正定矩阵（k>0,1>0)证口A,B都是n阶正定矩阵XOR".X0有XTAX>0.XTBX>0XT(KA+IB)X=kXTAX+IXTBX>0kA+IB为正定矩阵喜高等教育出服社1新时代大学数学系利教材

第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 例1 设A, B 都是n 阶正定矩阵. 证明：kA + lB也是 正定矩阵 (k > 0, l > 0). 证 ￾ A, B 都是n 阶正定矩阵 ￾ ￾ X ￾ Rn , X ￾ 0 , 有 X TAX > 0 , X TBX > 0 ￾ X T (kA + l B)X = k X TAX + l X TBX > 0 ￾ kA + l B 为正定矩阵

线性代数第二节正定二次型例2设A=(a)nn是正定矩阵.证明：ai>0(i-1,,n).证设某i≤0，取 X=(0,... 0,1,0,...,.0)T则XTAX=a≤0,矛盾.所以 au>0,(i=1,.., n).首高教育出服社1新时代大学数学系利教材

第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 例2 设A = (aij)n￾ n是正定矩阵. 证明: aii > 0(i=1,.,n). 证 设某 aii ≤ 0， 取 X = (0, ., 0, 1, 0, ., 0)T 则 X TAX = aii ≤ 0， 矛盾. 所以 aii > 0， (i = 1, ., n)

线性代数第二节正定二次型定理1F(X)=XTAX正定口A的特征值全大于零EPf(=XIAX= i+y+L+y=g(ms证XR",X0.有Y=P-X0f()=g(m)=++L+>0f(X)是正定二次型若A正定且有某≤0，不妨设，≤0，取 Y=(1, 0, .., 0)T, 则 X=PY 0,居，鼓品30,(=只0=,≤0n)首高事教育出服社11新时代大学数学东利教材

第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 定理1 f (X) = X TAX 正定 ￾ A 的特征值全大于零. 证 ￾ ： ￾ X ￾ Rn , X ￾ 0 , 有 Y = P -1X ￾ 0 , ￾ f (X)是正定二次型. ￾ ： 若 A正定且有某￾ i ≤ 0, 不妨设￾ 1 ≤ 0, 取 Y = (1, 0, ., 0)T , 则 X = PY ￾ 0, f (X) = g(Y) = ￾ 1 1 + ￾ 2 0 + . + ￾ n 0 = ￾ 1 ≤ 0 与f (X) > 0 矛盾，故 ￾ i > 0, (i = 1, ., n)

线性代数第二节正定二次型例3设A是n阶正定矩阵，证明：A+I>1证口A是正定矩阵A的特征值全为正实数：，，2，…存在正交矩阵C，使CAC==diag(2,..,nA+II=ICO CI+II=IC□ CI+CIC1=IC( + 1)CII84948+4)0高教育出服社11新时代大学数学东利教材

第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 例3 设A是n 阶正定矩阵，证明: |A + I | > 1. 证 ￾ A是正定矩阵 ￾ A的特征值全为正实数：￾ 1 ，￾ 2，.， ￾ n \存在正交矩阵C, 使 C-1AC = ￾ = diag(￾ 1，￾ 2，.，￾ n ) |A + I | = | C ￾ C-1 + I | = | C ￾ C-1 + C I C-1 | = | C (￾ + I ) C-1 | = | C | |￾ + I | |C-1 | = |￾ + I | = (￾ 1+ 1)(￾ 2 + 1) . (￾ n + 1) > 0

线性代数第二节正定二次型F(X)=XTAX可用正交变换X=PY化为标准形?+?+t只ny?其中，…，是A的特征值由此可得定理1的推论n元二次型fX=XTAX正定口fX的正惯性指数为n.合同变换不改变二次型的正负惯性指数，因此合同变换也不改变二次型的正定性高教育出社11新时代大学数学系利教材

第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 f (X) = X TAX 可用正交变换X = PY 化为标准形 ￾ 1 y1 2 + ￾ 2 y2 2 + . + ￾ n yn 2 其中 ￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ n是A 的特征值. 由此可得定理1 的 推论 n 元二次型 f (X) = X TAX正定 ￾ f (X)的 正惯性指数为 n. 合同变换不改变二次型的正负惯性指数，因此 合同变换也不改变二次型的正定性

线性代数第二节正定二次型定理2F(X)=XTAX正定口A与I合同证 设(X)=XTAX正定,则存在正交变换X=PY使?+2+..+ny,,>0(i-1.....n)令=即即Y=LZ,=diag(X=PY=P□ Z=QZ,(Q=P)则f(X)=z2+z?+ ...+ z2=zIIZ.QTAQ=I.所以，A与I合同首高事教育出服社11新时代大学数学票利教材

第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 定理2 f (X) = X TAX 正定 ￾ A 与I 合同. 证 ￾ ： 设 f (X)=X TAX 正定, 则存在正交变换X=PY使 ￾ 1 y1 2 + ￾ 2 y2 2 + . + ￾ n yn 2 ， ￾ i > 0(i=1,.,n) X = PY = P ￾ Z = QZ, (Q = P￾ ) 则 f (X) = z1 2 + z2 2 + .+ zn 2 = ZT I Z. QT A Q = I. 所以，A 与 I 合同

线性代数第二节正定二次型口：设A与I合同，则存在可逆矩阵P，使PIAP=I.令X=PY，则F(X)=X TAX =(PY)A(PY)=YT PTAPY=YTI Y口X0可得Y=QX0f(X)=XTAX=g(N)=y?+y?+...+ y?所以f(X）是正定二次型首高教育出服社1新时代大学数学系利教材

第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 ￾ ：设A 与 I 合同，则存在可逆矩阵P, 使 PT A P = I. 令 X = PY ，则 f (X)=X TAX =(PY) TA(PY) = YT PT APY = YT I Y. ￾ X ￾ 0 可得 Y = Q-1X ￾ 0 f (X) = X TAX = g(Y) = y1 2 + y2 2 + .+ yn 2 所以 f (X)是正定二次型