《高等数学》课程教学资源（书籍教材）高等数学下册课本第五章向量与空间解析几何、第六章多元函数微分学

同济大学数学系列教材高等数学版社下册同济大学数学系编人民邮电人民邮电出版社北京

同济大学数学系列教材 吉刍米 向寸女女子严 下 册 同济大学数学系 编 人民邮电出版社 北 京 人民邮电出版社

内容提要本书是按照教育部大学数学课程教学指导委员会的基本要求，充分吸取当前优秀高等数学教材的精华，并结合同济大学数学系多年来的教学实践经验，针对当前学生的知识结构和习惯特点而编写的。全书分为上、下两册。本书为下册，是多元函数微积分部分，共四章，主要内容包括向量与空间解析几何，多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数。每节前面配有课前导读，核心知识点配备微课，每章后面附有章节测试和拓展阅读。本书注重知识点的引入方法，使之符合认知规律，更易于读者接受。同时，本书精炼了主要内容，对部分内容调整了顺序，使结构更加简洁，思路更加清晰。本书还注重知识的连贯性，例题的多样性和习题的丰富性、层次性，使读者在学习数学知识点的同时拓宽视野，欣赏数学之美本书可作为高等院校理工科类各专业的教材，也可作为社会从业人员的自学参考用书。人民邮电出版社·编同济大学数学系责任编辑许金霞责任印制沈蓉·人民邮电出版社出版发行北京市丰台区成寿寺路11号邮编100164电子邮件315@ptpress.com.cn网址htp:/www.ppress.com.cn北京印刷+开本：787×10921/16印张：182016年月第1版千字字数：2016年月北京第1次印刷元定价：读者服务热线：（(010) 81055256印装质量热线：（010）81055316反盗版热线：(010)81055315广告经营许可证：京东工商广字第8052号

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目录第五章向量与空间解析几何第六章多元函数微分学53第一节向量及其运算第一节多元函数的概念、极限与连续.*、空间直角坐标系1533.53二、向量的运算、平面上的集合754三、向量的模、方向角·二、二元函数的概念9四、数量积….:56三、二元函数的极限1257五、向量积四、二元函数的连续性-14六、混合积习题6-159第二节多元函数的偏导数与习题5-116全微分第二节平面及其方程186018偏导数60一、平面的点法式方程酒2066全微分二、平面的一般方程7021三、平面的截距式方程习题6-2第三节A21复合求导、隐函数求导及四、平面与平面、点与平面的关系·23方向导数.72习题5-224.73第三节直线及其方程..、多元函数复合求导2579一、空间直线一般方程二、隐函数的求导公式·25:85二、对称式方程及参数方程三、方向导数与梯度….27习题6-3.90三、直线与平面的关系29第四节多元函数微分学的应用.93四、平面束30习题5-3..93、空间曲线的切线与法平面第四节曲面与曲线32...100...二、空间曲面的切平面与法线.:33103、曲面方程的概念三、多元函数的极值:34习题6-4108二、旋转曲面36本章小结三、柱面11137章节测试六113四、二次曲面:40拓展阅读115五、空间曲线及其方程42六、空间曲线在坐标面上的投影第七章多元函数积分学11944习题5-4本章小结46二重积分的概念、计算和第一节章节测试五47应用119拓展阅读49119二重积分的概念和性质..1

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目录二、直角坐标系下二重积分的计算…122203习题7-5本章小结三、极坐标系下二重积分的计算……130·208四、二重积分换元法..134章节测试七..209136拓展阅读211五、二重积分应用举例·142习题7-1：第八章无穷级数215第二节三重积分的概念、计算和应用146第一节常数项级数的概念与 146性质：215、三重积分的概念..147.215二、三重积分的计算、常数项级数的概念151...219三、三重积分的应用二、收敛级数的基本性质….153.221习题7-2:习题8-1·.第三节对弧长的曲线积分与对坐标第二节常数项级数的审敛准则.·223的曲线积分155224、正项级数及其审敛性..231、对孤长的曲线积分（第一类二、交错级数及其审敛性.曲线积分）155三、绝对收敛和条件收敛....232二、对坐标的曲线积分（第二类习题8-234第三节幂级数的收敛及函数的曲线积分）161展开式169238习题7-3第四节对面积的曲面积分与对坐标238函数项级数的概念的曲面积分...239、幂级数及其收敛性247、对面积的曲面积分（第一类、函数展开成幂级数·172251习题8-3曲面积分）第四节傅里叶级数253二、对坐标的曲面积分（第之类..177一、周期为2的函数的傅里叶曲面积分）186级数·253习题7-4第五节格林公式、高斯公式和..260二、一般周期函数的傅里叶级数斯托克斯公式188习题8-4.261.本章小结263188、格林公式及其应用·197章节测试八265二、高斯公式、通量与散度·拓展阅读*267*三、斯托克斯公式、环流量与201习题答案.269旋度...:2

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第五章向量与空间解析几何 第一节向量及其运算 [课前导读] 既有大小又有方向的物理量称为向量.在数学上可用有向线段来表示向量，其长度表 示向量的大小，其方向（箭头）表示向量的方向. (1)向量的表示：以M1为起点、M2为终点的有向线段表示的向量记为M1M2,有时也 民邮电出版社 用一个黑体字母（书写时，在字母上面加一箭头）来表示（见图5-1），如a或a. M2 a e M1 图5-1 (2)向量的模：向量的大小（数学上指有向线段的长度）叫作向量的模，记作|a|, |M1M2|.模为1的向量称为单位向量（见图5-1），记作e.模为0的向量称为零向量，记 作0.零向量的方向可以看作是任意的. (3)向径：以原点O为始点，向一点M引向量OM,这个向量叫作点M对于点O的向 径，记作r,即r=OM. (4)自由向量：只与大小、方向有关，而与起点处无关的向量称为自由向量. 一、空间直角坐标系 过空间一个定点0，作三条互相垂直且具有相同的长度单位的数轴（见图5-2），这三 条数轴分别称为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴，定点0称为原点.其 正向符合右手规则（见图5-3）.这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系. 三条坐标轴中的两条可确定一个平面，即xOy、yOz、zOx平面，统称坐标面.它们把 空间分成了八个卦限，在xOy平面上面逆时针依次为I、I、Ⅲ、Ⅳ卦限，下面依次为 V、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限，如图5-4所示. .1

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第五章向量与空间解析几何tz竖轴原点0C空间直角坐标系yy纵轴横轴x图5-2图5-3对于空间一点M，过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴的交点依次为P、Q和R（见图5-5），这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标为x、y和z，则这组有序数x、y和z称为点M的坐标，记为M（x，y，z）：Ⅱ2ⅡIV-M邮电出XVIIVVI图5-4图5-5反之，已知一个有序数组（x，X我们可以在轴、轴和轴上分别取坐标为的点P，坐标为y的点Q，坐标为z的点R，过三2个点分别作垂直于x轴、y轴和z轴的三个平面，B(0,yz)R(0,0,2)它们相交于一点M，则M即为以x、y和z为坐标C(x,0,z)M的点，所以通过直角坐标系，我们建立了空间点..OL.M与有序数组（x，y，z)的一一对应关系.Q(0.y:0)我们先来看几个特殊点的坐标（见图5-6）xP(x,0,0)A(x.yo)在xOy平面上：z=0，故对应点的坐标为图5-6A(x, y, 0) ;在yOz平面上：x=0，故对应点的坐标为B（0，y，z）；在z0x平面上：y=0，故对应点的坐标为C（x，0，z）在x轴上：y=z=0，点的坐标为P（x，0，0）；在y轴上：z=x=0，点的坐标为Q（0，y，0）；在轴上：x=y=0，点的坐标为R(0，0，z）设M（x1，1，z1）、M2（x2，y2，22）为空间两个点（见图5-7)，通过M、M,各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以M，、M，为体对角线的长方体，由此可得: 2

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第一节向量及其运算d = IM,M, /2 =(x2 - x))2 + (y2 -y1)2 +(z2 -21)2即d = M,M,/= /(x2 - x1)2 + (y2 -y)2 +(22 - zi)2例1证明以点M（4，3，1）、M（7，1，2）及M（5，2，3）为顶点的三角形是等腰三角形.证IM,M,= /(7 - 4)2 +(1 - 3)2 + (2 - 1)= /14,图5-7[M,M, /= /(5 - 7)2 + (2 - 1)2 + (3 - 2)3=/6,[MM /= /(4 - 5)2 + (3 - 2)2 + (1 - 3)2 = /6即IM,M|=|M,M，因此该三角形是等腰三角形例2在z轴上求与两点A（-4，1，7）和B(3，5，=2）等距离的点解设所求点的坐标为M(O，O，z），由|AM|=BMI，即V(0 + 4)2 + (0 - 1)2 +(z - 7)= /(3 - 0)2 + (5 +0)2 + (- 2 - z)2,1414邮电出）得Z：因此所求点的坐标为M（0.0.9二、向量的运算1.向量的投影及投影定理将非零向量α、b的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转过角度后可与另一个向量正向重合（见图5-8），则称6为向量a、b的夹角，记作(a，b），即0=(a. b)=(b,a)(0≤0≤)对于向量a、b，如果它们的夹角6=0或=π，则称这两个向量平行，记为a//b，其中两个向量指向一致时a=0，指向相反时a=T：指向相同的两个平行向量α、b如b果还满足a=bl，那么这两个向量相等，记为a=b.与向图 5-8量a的模相同，但方向相反的向量叫作a的负向量，记作-a.对于一向量与一轴的夹角，可将其中一轴看作向量，按两向量之间的夹角来度量：对于两个轴之间的夹角，则看作两向量的夹角。通过空间一点A作与u轴垂直的平面（见图5-9），该平面与u轴的交点A'称为点A在u轴上的投影如果向量AB的始点A与终点B在u轴上的投影分别为A'、B（见图5-10），则u轴上的有向线段A'B的值A'B'称为向量AB在u轴上的投影，记作Pri,AB=AB'，u轴称为投影轴..3

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第五章向量与空间解析几何图 5-9图5-10注值A'B'是指其绝对值等于AB的长度，即|ABI，符号由AB的方向决定：当A'B与u轴同向时，取正号：当AB与u轴反向时，取负号定理1向量AB在u轴上的投影等于向量的模乘以u轴与向量AB的夹角的余弦，即PrjuAB -IABIcoso证将向量AB的始点置于u轴（见图5-11），则由直角三角形关系得Prju AB = Prju.AB = |ABlcose.当一非零向量与其投影轴成锐角时，向量的投影为正，成钝角时，向量的投影为负；成直角时，向量的投影为零（见图5-12).民邮电出图5-11图5-12定理2两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和。证设点A、B和C在轴上的投影分别是A、B'和C"（见图5-13)，则Pri,AB=A'B'，Pri,BC=B'C"Pri,AC=A'C'，由于无论A、B'和C在轴上的位置如何，总有A'C'=A'B+B'C"，故PrjAC =PrjAB+ Pri,BC.图5-13本定理可推广到有限个向量的情形：Prj,(a, +a2 +... +an)=Prj.a, +Prjua2 +... +Prj.an定理3Prj(入a)=入Prja证证明留作习题，2.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标以同起点向量、b为平行四边形相邻两边，以α向量的起点作为起点的其对角线表示的向量为两个向量的和，记为a+b，如图5-14所示，以b向量的终点为起点，a向量.4

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第一节向量及其运算的终点为终点的对角线向量为两个向量的差，如图5-15所示，记为a-b=a+（-b)RRa-b7+boaaA0A图5-14图5-15设入是一个实数，向量a与数入的乘积入a规定如下当入>0时，入a表示一向量，其大小|入a|=入[a|，方向与a同向；当入=0时，入a=0是零向量；当入时，P与e同向，故PP,=e(入>0），由入=IP,=u-u因此P,P,=(uz-u)e;当u2 -ur=0时,P,P, =0,(uz -ur)e=0, 因此P,P, =(u2 -u)e;当u-u0时,P,P,与e反向，故P,P,=-e(>0)，由入=|P,P/=-u2,因此PP, =-e=-(ui -uz)e=(uz-ur)e.设空间有一向量a=M,M，其中M（x1，J1，z）、M2（x2，y2，z2），由加法定理可:5

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第五章向量与空间解析几何知a可分解为三个分别平行于x轴、y轴和z轴的向量a、a,和a，它们称为a在x轴、y轴和z轴的三个分向量.显然a=a+a,+a（见图5-19).zt4bi版社图5-19设x2—,=ax，y2-=ay，22-z=a2如有Prj,a= Prj,a, = x2 -XPrj,a=Pri,a, =y2-yayPrja=Prja.=-2=a若用i、j和k分别表示与x轴、y轴和轴正向一致的三个单位向量，称它们为基本单位向量，则有a,=(x2 -x)i,a,(2yi)j,a,=(z2—21)k，因此a=a,+a,+a,=(x2xx)i+(y2-y)j+(z2-z)k=ai+aj+ak,称上式为向量a按基本单位向量的分解式或a的向量表示式，方面，从向量a可以唯一定出它在三条坐标轴上的投影aa，和a，，另一方面，从a、a,和a,可以唯定出向量a，这样有序数组aa、a,就与向量a一一对应，于是将ax、a,、a,称为向量a的坐标，记为a=（ax，ay，a.），也称为向量a的坐标表示式.以M（x1，J1，z）为始点、M（x2，y2，z2）为终点的向量记为M,M, =(x2 -x1, 2 -y1, 32 -2))特别地，M(x，y，z），向径r=OM=（x，y，z）（见图5-20).对于向量的运算也可化为对坐标的数量运算，设向量a=（ar，ay，a），b=（br，by，b），则a±b=(ai+aj+ak)±(bi+bj+bk)=(ar±b)i+(a,±b)j+(a±b,)k=(ar±br,ay±b,,a,±b,);Aa=a(ai+aj+ak)=(aar)i+(aa)j+(Aa)k=(Aar,Aay,Aa,)例4设A（×1，J1，2）和B（x2，32，≥2）为空间两图5-20:6

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