《高等数学》课程教学资源（书籍教材）高等数学（人邮版）下册（后半部分）

第七章多元函数积分学第一节、二重积分的概念、计算和应用f.:1「课前导读】在学习定积分的时候我们知道，如果函数y=f(）在［a，b]上连续且（α）≥0，那么对于直线%=a，=b，x轴以及曲线=（）所围成的曲边梯形的面积，可以通过对区间的任意划分，将曲边梯形分成若千个部分小的曲边梯形，然后以小矩形来近似替代小的曲边梯形，得到曲边梯形面积的近似值（见图7-1)，最后，将区间“无限细分”取极限得到曲边梯形面积的精确值，即通过分割、近似、求和、取极限所得结果就是定积分(x)dx的值（见图7-2)，f(c)y=f(x)S- 1m ()4x-1()dr阳康隆必牌!axxxxxrb1:图7-2图7-1作为一元函数的定积分有许多应用，但仍有许多问题无法处理，比如，在定积分的应用中，我们计算了旋转体的体积，但对一般形状的物体，用定积分求其体积就显得困难，因此我们需要用二重积分或三重积分来解决此类问题：在学习二重积分的时候，注意和定积分的相关概念之间的区别与联系，与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中插象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”：所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间：而二重积分的被积函数是二元函数，积分范是平面上的一个区域，它们之间存在着密切的联系，二重积分可以转化为定积分来计算，一、二重积分的概念和性质本节将由曲项柱体的体积公式引人二重积分的概念，并且研究二重积分的相关性质。1.曲顶柱体的体积如图7-3所示，曲面z=f(x，y）在平面闭区域D上连续，且有f(，y）≥0.过D的: 119

第七章多元函数积分学边界作垂直于xO面的柱面S，则区域D和柱面S以及曲1V面z=，）构成一个封闭的立体，称为以D为底、以z=f(，y）为顶的曲顶柱体，类似于曲边梯形面积的求法，我们采取“分割”“近似”“求和”“取极限”的步骤来求xiy)曲项柱体的体积将D任意分割成AD，AD2，…，AD共n份，记18每一份的面积分别为Ao1，Ag2，，Ag.，过第i份（1≤i≤n）△D,的边界作垂直于xOy面的柱体，则构成图7-3了一个以△D，为底、以z=f(%，）为顶的小曲顶柱体：在AD,上任取一点（，y），做乘积f（%，y）A，则第i块的小曲顶柱体的体积可以近似地表示为V（，y)A，而整个的立体体积可以用和式Zai,)o来表示，设入为AD，AD2，，△D，中区域直径（区域上任意两点间距离的最大者）的最大值，令入→0时，所得的极限值lim Zf(x,y)Ao;入-0:=1即为所求的曲顶柱体的体积上面的问题把所求量归结为和式的极限，由于在物理、力学、几何和工程技术中，许多的物理量和几何量都可以用这样的和式的极限来表示，所以有必要研究这种和式的极限的一般形式，我们从上述表达式中抽象出下面的二重积分的定义2.二重积分的概念y定义设f（，）是平面闭区域D上的有界函数，将D(xny)任意分割成n小块AD，AD2，，AD，记第i块的面积为Ao(i=1，2，，n），在第i块上任取一点（x，y）（见图7-4)，作(，)Ao;，取入=maxdiamAa，即入sisnislx是各AD，的直径中的最大值，如果limZf(x，yi)A；存图7-4+0在，则此极限值称为函数f（x，y）在平面闭区域D上的二重积分，记为J(c, y)do=lmf(x, y)A0;.入-0:T其中D称为积分区域，f(，y）称为被积函数，da称为面积微元，（x，）do称为被积表达式，之(，n)A0;称为积分和。=如果二重积分f(x，y)da存在，也称函数f(，y）在区域D上可积，由二重积分的D: 120

第一节二重积分的概念、计算和应用定义可知，在区域D上可积的函数（%，y）一定是D上的有界函数：反过来，什么样的函数一定是可积的呢？我们不加证明给出下面的定理，定理1在区域D上的连续函数一定是D上的可积函数很容易知道，当f（，y）≥0时，曲顶柱体的体积v=f(x,)do;当(,)0f(x, y)do.时，对应的二重积分是负值，故曲顶柱体的体积V=-例1用二重积分表示上半球体×2+2+22≤1，z≥0的体积，并写出积分区域，解，首先上半球体x2++z≤1与x0y面的交线为[x2+y2+2=1(z=0,即区域D的边界曲线为J-x-yx2+12=1上半球面所对应的方程为z=V1-x2-y故上半球体可以看成是以D为底的、以z=V1--为顶的曲顶柱体的体积（见图7-5），故V= l /1-x-y2 dg,图7-D其中 D = ((x, y)1 x2 +y? ≤1) .3.二重积分的性质二重积分有着和定积分相似的性质，以下性质均假设被积函数在所在区域上可积，性质1[f(x, y) + g(x, y)] dg= f(x, y)do + g(x, y)dgP[kf(x, y)do =hJf(x, y)do(h e R) .:性质2PoD性质3设D由DI、D,组成，则L f(x, y)dg = If(x, y)do + If(x, y)do.D=D,+D2D.D性质4如果（，y）=1，则有1dx=[dx=D的面积.这个性质表明：以D为底、高为1.的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积，性质5如果在区域D上满足f(，y）≤g（x，y），则有[r(x, y)do ≤ Jg(x, y)do ;DD特别地，有Ir(x, y)do≤ [ I f(x, y) I do.121

第七章多元函数积分学性质6设S，是区域D的面积.如果fx，y）在D上有最大值M和最小值m，则有mSp ≤ Jr(x, y)do Ms,这个不等式称为二重积分的估值不等式，性质7（二重积分的中值定理）如果（，）在有界闭区域D上连续，则在D上至少可以找到一点（，），使得Jf(x, y)da =(t, n) .Sp :Dy例2比较积分in(x+y)do与[in(x+y)do的大(1,1)小，其中区域D是三角形闭区域，三顶点各为（1，0），20)x（1,1)，(2，0)0(1,0)解如图7-6所示，三角形斜边方程+y=2，在D内有1≤+y≤2<e,故图 7-6！0≤ ln(α+ ) ≤ In2 < Ine =1,于是ln(αy）≥[In+)，因此美有Jin(x + y)do ≥ J [In(x +y),]'do.nDe（*+y)dg的值，其中D是椭圆闭区域：例3不作计算，估计「=2++.≤1(0 <b<a) .a262解区域D的面积g=Tab，在D上因为0≤x2+≤a，所以1eo≥e+≤ea由性质6知le(c2+y2) do≤ . e"-从而有le(y)doi≤Teab.Tab≤二、直角坐标系下二重积分的计算根据二重积分的定义，如果函数（，y）在区域D上可积，则二重积分的值与对积分区域的分割方法无关.因此，在直角坐标系中，常用平行于轴和轴的两组直线来分割积分区域D，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域：设矩形闭区域Ao；的边长为Ax；和Ayj，于是A，=Ax;Ay（见图7-7)。故在直角坐标系中，面积微元dg可记为dady，即d=ddy：进而把二重积分记为f(x，y)dxdy，这里我们D把dxdy称为直角坐标系下的面积微元，·122

第一节二重积分的概念、计算和应用在实际应用中，直接通过二重积分的定义和性质来计算二重积分一般是困难的，本节介绍的二重积分的计算方法，其基本思想是将二重积分化为两次定积分来计算，转化后的这种两次定积分常称为二次积分或累次积分：下面先在直角坐标系下讨论二重积分的计算1矩形区域上的二重积分n设函数z=f(，y）在矩形区域图7-7D=l(x,y)la≤xb,c≤y≤d)上连续，且f(%，y）≥0.由前面的内容可知，f(，y)dxdy的值等于以D为底，以曲面z=(x，y）为顶的曲顶柱体的体积。在区间［a，6]］上任意选定一点αo，作垂直于轴的平面x=，此平面截曲顶柱体所得到的截面是一个以［c，d]为底、以曲线z=f(o，y）为曲边的曲边梯形（见图78）由定积分的几何应用可知，曲边梯形的面积可以用定积分来计算，则截面面积为s(xo)co, y)dy.(x.(x.y)S(xa)- Ja f (xo,)d)图7-8对于区间a，b]上的任何一点×，对应的截面面积为S(x)= J'f(x, y)dy.故曲顶柱体的体积V为V=f's(a)da=J['(, y)dy] dx=J'da J'f(x, y)dy即[f(x, y)dedy = f'de J'(x, )dy(1)式(1)的右端称为先对y后对x的二次积分。这个公式表明，矩形区域上的二重积分可以转化为先对y后对x的二次积分来计算例4计算定积分(x +y)dy.解因为被积函数+y是、的二元函数，而积分变量是y.因此求+的原函数·123

第七章多元函数积分学的时候，可以把%看成是常数，故原函数为，因此定积分的值为2x+1(α+y)dy=*.[y] +[y=x(1-0)+号-(12 = 02)= % 这是一个关于的函数，例5计算二重积分Jerdxdy，其中区域D是由=0，=1，=0,y=1所围成的D矩形.解因为D是矩形区域，且e+y=e*·e，所以Jer+rdrdy=f'da 'e*erdy =f'e'deydf'e"[e'Jde-f'e(e- 1)da =(e - 1)?我们还可以通过另一个截面来求曲顶柱体的体积，从而得到二重积分的另一个计算方法现过y轴上任一点yo做垂直于y轴的截面，得到一个以［α，b］为底、以曲面z=f(x，y）和平面y=yo的交线y=f(%，yo）为顶的曲边梯形（见图7-9），其面积为Q(yo)Yo)dxz-f(xy)-12=f(x,y)0-(x.y.)d0图7-9由yo的任意性可知，过轴上任一点的截面面积为Q(y)=(x，y)d，这是的函数利用已知截面面积的立体体积公式可知，曲顶柱体的体积是V=,o(n)dy-'['(, )da] dy(2)式（2)的右端称为先对x、后对y的二次积分，上述公式也记为V='["'(r, y)da] dy=f'dy J'f(x, y)dx·124

第一节二重积分的概念、计算和应用因此我们可以得到矩形区域上的二重积分的计算公式：(x, y)ddy =J'da J'f(x, y)dy =dyf(x, y)dx.D-[a, b]x[c, d]上式对f（%，）<0也成立例5也可以用另外一种次序的二次积分来计算，Je*rdxdy - I'dy f'ee' de - ferdye*df'e'[e*,dy -f'e(e - 1)dy =(e - 1)2.例6计算1=xy2dxdy，其中D=[0，1]×[1，2].1解f（，y）=xy2在D上连续，若先对积分后对积分，则有1-Jopdady=oda-fr[] ay-pay-[]--若先对积分后对积分，则有I upddy -fan umpdy []'d ad []2.X型区域上的二重积分若积分区域D可以用不等式((x,y)1 pi()≤y≤p2();a≤x≤b)来表示（见图7-10)，其中函数Φ（）、2（x）在区间【a，b】上连续，这样的区域称为X型区域，其区域特征为：穿过D内部且平行于轴的直线与D的边界最多相交于两点，yty=p2(x)yty=p2(x)y=g(x)y=pi(x).1aa(b)图7-10例7将下列区域（见图7-11)写成X型区域的表达式b:解（1）三角形斜边的方程为y=故区域的X型表达式为b0一%，0≤x（2）抛物线的方程为=x2，直线的方程为y=%，故区域的X型表达式为((x,)1x≤y≤x,0≤x≤)（3）上半圆的方程为y=/1-x，下半圆的方程为y=-/1-x，故区域的X型表125

第七章多元数积分学(1)/1-x2-Jx(3)4图7-11达式为((x,y)1-V1-x≤y≤/-，-1≤x≤1)（4）区域可以写成两个X型区域的和：D+D2.D,的边界曲线分别为y=，y=-x，x=0，α=1，则D，的X型表达式为((, ) 1-/x≤≤/x, 0≤x≤1)D,的边界曲线分别为=Vx，=-2，%=1，%=4，则D,的X型表达式为((x, )1-2≤≤x, 1≤x≤4)注把区域写成X型表达式时，一定注意把边界曲线写成是α的函数，同时注意边界曲线所在的上下位置：般地，若D是由=a，=b，=（x)，=2（）所围成的X型闭区域，求以D为底、以曲面z=f（，y）（（，）连续且非负）为顶的曲顶柱体的体积（见图7-12），垂直于×轴，可以过轴上的任一点做曲顶[z=f(x,y)柱体的截面，则截面面积是以【（），f(x,y)p2（）为底，以z=（x，）为顶的曲边梯形，其面积为、S(x)=f(x, y)dy.S(x)-fea)f(xjd)V.对应的立体体积为2（'s(x)dx = /V-f(x, y)dy](x该积分是先后次序的二次积分，也可图7-12以记作·126

第一节二重积分的概念、计算和应用92()f(x, y)dy.从而[(x, )ddy ='s(a)dx =,[(x, )dy] dx =daf(x, y)dy.(3)式（3）表明，将二重积分转化为先后次序的二次积分来计算，关键是确定二次积分中关于变量y的积分限，即确定区域D的X型表达式：如果区域是如图7-12所示的X型区域，在区域［a，b]上任意取定一点，并过此点做一条平行于轴的直线，顺着轴正向的方向看去，直线与边界曲线的第一个交点的纵坐标（）就是积分的下限，第二个交点的纵坐标2（）是积分的上限，这个关于变量的积分计算的结果是的函数，再对变量在区间【a，b]上做定积分即可，式(3)对f(，y)0也成立例8计算二次积分dxydy.解设S(x)=xydy，被积函数是关于、y的二元函数，积分变量是，则可以把%看成常数，被积函数的原函数为%y，则23[]--s(x) =x :~2于是 da Jexdy =,S(a) da=→,( -) da1a4+[(-g) (()]1014724注在计算第一个定积分xydy时，y是自变量，看成常数；而计算第二个定积分（3-x2)dx时，是积分变量，例9计算[xydo，其中D是由直线=1，=2及=所围成的闭区域D解如图7-13所示，把区域写成X型表达式，则有D=(x,)11≤≤x,1≤x≤2),所以[Jopda-U ] d - [号] d-(6-)[8--8例10计算/1+2-do，其中D是由直线=%，x=-1和y=1所围成的闭区域.解如图7-14所示，把D写成X型表达式，即D=(x,y)lx≤y≤l,-1≤x,127

第七章多元函数积分学图7-1图7-则y?dg:y+x?-yd[1+-)'d(1 ×/3 - 1)dx = -1)d23.Y型区域上的二重积分设积分区域D可以用不等式((x,y)l(y)≤x≤2(y),c≤y≤d)来表示（见图7-15），其中函数(y）、中2(y）在区间［c，d】上连续，这样的区域称为Y型区域，穿过D内部且平行于轴的直线与D的边界最多相交于两点ytax=Wi(y)x=yi(y)x=w2(y)x-W(y)x.o图7-15若D是由y=c，y=d，=(y），x=2(y）所围成的Y型区域，类似于X型区域上的曲顶柱体所围体积求法，以D为积分区域，以二元函数z=f（，2）为被各函数的二重积分的值等于一个先对后对的二次积分（见图7-16），即'ody='[a, da] dIf(x, y) dxdy = Jf(x,y)dx(例11计算二重积分xyda，其中D是由抛物线y2=及直线y=%~2所围成的闭区域，解首先求抛物线y?=%及直线y=%-2的交点，即解方程组%=x-2,解得交点坐标为（1，1）和（4，2）·128