《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章课件_D10_3三重积分

第十章三重积分第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算

第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三重积分 第十章

一、三重积分的概念引例：设在空间有限闭区域口内分布着某种不均匀物,密度函数为 r(x,y,z)i C,求分布在 内的物质的质量M解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用“大化小，常代变，近似和，求极限口可得nDVaAM = limm(x k,h k,z k)Dvk1?0k=1(xk,hk,zk)

一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ￾ 引例: 设在空间有限闭区域 ￾ 内分布着某种不均匀 物质的 , 求分布在 ￾ 内的物质 的 可得 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为

对于非均匀密度的物体，如何求质量？(1）将立体划分成n个直径很小的小块：AVAV.AV(2)在小块△V中任意取一点（,n,5）以该点的密度近似代替小块中各点的密度（局部以均匀密度代替非均匀密度）得V的质量的近似值：M,~p(5,,n,5.)AV

(3)求和，得质量的近似值：ZM,~Zp(5,n,5)AVM=i-1i-1(4)取极限，得质量的精确值：Yp(5,n,s.)AVM=lim1-0i-l人是各小块的直径最大者

积分的质量模型细棒的质量：p(x)：线密度M = J, p(x)dxabp(x:面密度薄片的质量：M = [[ p(x,y)doD立体物体的质量：p(xz)：密度JJ p(x, ,z)dv2M二2

定义. 设 f(x,y,z), (x,y,z)I W,若对 作任意分割Dvk(k =1,2,L ,n),任意取点 (xk,h,z k)I Dvk,下列"乘积和式”极限n记作lim a f(xk,h k,z k)Dvk0Q0 (x, y,z)dv1 0 k=1存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在口上的三重积分dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz性质：三重积分的性质与二重积分相似.例如中值定理。设f(x,y,z)在有界闭域? 上连续,V为 的体积, 则存在(x,h,z)I W,使得oQg(x,y,z)dv= f(x,h,z )V

定义. 设 存在, 称为体积元素, 若对 ￾ 作任意分割 任意取点 : 则称此极限为函数 在￾ 上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似.例如 下列“乘 中值定理. 在有界闭域 ￾ 上连续, 则存在 使得 V 为￾ 的 体积, 积和式” 极限 记作

二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分先假设连续函数 f(x,y,z)3 0,并将它看作某物体的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算方法：方法1．投影法（先一后二")方法2．截面法（先二后一

二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 先假设连续函数 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:

方法1.投影法（“先一后二”）Z.闭区域W在xoyOz-(Xiy)面上的投影为闭区域DWISt : z=zi(x,y),zE(x,F))S, : z =zz(x,j),0y过点(x,y)ID作直线y= J2(x)从穿入，从穿出y=J,(x)先将x,看作定值，将f(x,y,z)只看作z的函数，则32(x,y)F(x, )= O(c,) f(x, ,z)dz(x.y

方法1. 投影法 (“先一后二” )

计算 F(x,v)在闭区间 D上的二重积分z2(x,y)0F(x, y)ds = 000(c) f(x,y,z)dzlds .D,afxfb,Q D: yi(x)f y yz(x),V2(x)32(x,y)f(x, y,z)dz.000x,y,z)dv= odxdyox(x.yW也称为先一后二，切条法（先z次y后x）注意这是平行于z轴且穿过闭区域W内部的直线与闭区域W的边界曲面S相交不多于两点情形：用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分

——也称为先一后二，切条法（ 先z次y后x ） 注意 用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下 的三次积分

oQodxdydz,其中口为三个坐标例1．计算三重积分面及平面l x＋2v＋z=1所围成的闭区域(0f zf1- x- 2yZ解: W: Ofyf(1- x)0fxfl120Qgdxd yd zy2(1- x)1- x- 2yxdxdzdyQQQ(1- x)(1- x - 2y)dydXXQQ1Q(x- 2x2 +x)dx48

例1. 计算三重积分 其中￾ 为三个坐标 所围成的闭区域 . 解: 面及平面