《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章课件_7.6对坐标曲线积分

第二节对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分的概念一、义与性质对坐标的曲线积分的计算法二、三、两类曲线积分之间的联系HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分的概念与性质一、1. 引例:变力沿曲线所作的功BL设一质点受如下变力作用AF(x, y) =(P(x, y), Q(x, y)在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移动过程中变力所作的功W解决办法：变力沿直线所作的功“大化小“常代变”W = FABcose“近似和”= F.AB6B“取极限”HIGHEDUCATIONPRESS返回结束机动目录上页下页

一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, A B L x y 求移 W = F AB cos “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 变力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. = F  AB A B F  F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1)“大化小把L分成n个小弧段，F沿Mk-MkF(Ek,nk)yt所做的功为△Wk，则BLAyknW =AW2kAxkk=1A2)“常代变x有向小弧段Mk-M,用有向线段Mk-1Mk =(xk, Ayk近似代替，在Mk-1M上任取一点(,n),则有△Wk ~ F(5k, nk). Mk-1Mk= P(Ek, nk)△xk +Q(Ek, nk)AyhHIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

Mk−1 Mk A B x y 1) “大化小”. 2) “常代变” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 k k k k = P( , )x + Q( , )y  k   k  所做的功为 F 沿 Wk F k Mk 1Mk ( , ) −      k ( , ) F  k k  = =  n k W Wk 1 则 用有向线段 在 上任取一点 k  y k x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3）“近似和”nW~E[P(Ek, nk)Axk +Q(ck, nk)Ayk ]k=14）“取极限nZ[P(sk, nk)4xk +Q(k, nk)4y]W = lim元-0k=1F(Ek,nk)(其中为n个小弧段的VB最大长度)LykAxk4大HIGH EDUCATION PRESS返回上页下页结束机动自录

3) “近似和” 4) “取极限”  =  n k W 1   k k k k k k P( , )x + Q(ξ , )y  = → = n k W 1 0 lim    k k k k k k P(ξ , η )Δx + Q(ξ , η )Δy Mk−1 Mk A B x y L ( , ) F  k k k  y k x (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑2. 定义.弧，在L上定义了一个向量函数F(x,y) =(P(x,y), Q(x,y)极限若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点n≥ [P(5k, nk)Axa+Q(5k, nk)Ay ]lim1>0k=1记作P(x, y)dx + Q(x, y)dy都存在,则称此极限为函数F(x,y）在有向曲线弧L上其中,P(x,y)或第二类曲线积分对坐标的曲线积分Q(x,y）称为被积函数，L称为积分弧段或利积分曲线HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束机动

2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分,  + L P(x, y)dx Q(x, y)dy  k k k P( , )x  k k k  + Q( , )y = n k 1 0 lim → 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

n2P(x, y)dx = limP(Ek, nk)△xk元-0k=1称为对x的曲线积分n[,O(x, y)dy = limZQ(Ek, nk)Ayk 10k=1称为对的曲线积分若记ds=(dx,dy),对坐标的曲线积分也可写作[, F.ds= J, P(x,y)dx+Q(x,y)dy类似地，若I为空间曲线弧,记 ds=(dx,dy,dz)F(x, y,2)=(P(x, y,2), Q(x, y,2), R(x, y,2)[, F .ds = , P(x, y,z)dx + Q(x, y,z2)dy + R(x, y,z)dzHIGHEDUCATIONPRESS上页下页返回结束机动目录

L P(x, y)dx lim ( , ) , 1 0  → = =  n k k k k P   x  L Q(x, y)dy lim ( , ) , 1 0  → = =  n k k k k Q   y  若 为空间曲线弧 , 记 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 d s = (d x , dy) , 对坐标的曲线积分也可写作    = + L L F d s P(x, y)dx Q(x, y)dy F(x, y,z) = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)) 类似地, d s = (d x, dy , dz) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧L,（i=l,…,k)则P(x, y)dx +Q(x,y)dyP(x, y)dx +Q(x,y)dy7Lii=1(2)用L～表示L的反向弧，则P(x, y)dx +Q(x, y)dy = -/ P(x, y)dx +Q(x, y)dy说明：·对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向定积分是第二类曲线积分的特例HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧  + L P(x, y)dx Q(x, y)dy  = = + k i Li P x y x Q x y y 1 ( , )d ( , )d (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则  = − + L P(x, y)dx Q(x, y)dy 则 • 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、对坐标的曲线积分的计算法定理：设 P(x,J),Q(x,y)在有向光滑弧 L上有定义且x=@(t)t:α→β,则曲线积分连续，L的参数方程为y=y(t)存在,且有P(x, y)dx+Q(x,y)dy[P (P[p(t), y(t)lp'(t)+Q[p(t), y(t)] y'(t))d t证明：下面先证P(x,y)dx =P[p(t), y(t)l'(t)dtHIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为    = = ( ) ( ) y t x t   t : → , 则曲线积分   =   P[ (t), (t)](t)+ Q[ (t), (t)](t)d t 连续, 证明: 下面先证 P[ (t), (t)] dt  =     (t) 存在, 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

n*根据定义P(x, y)dx = lim>P(i, ni)Axi元-0i=1设分点 x,对应参数ti，点(si,ni)对应参数 ti,由于Ax; = x; - Xi-1= (t,) -β(ti-1) = '(t)△tin2I. P(x, y)dx = limP[(t,), y(t,)lp'(t))Nt1-0i=1因为L为光滑弧,所以β(t)连续n= limP[p(t ), y(t,)l(t,)△t7-0i=1BP[p(t), y (t)] @'(t)dtaB Q(x, y)dy=同理可证Q[Φ(t), y(t)l y'(t) d tHIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

设分点 对应参数 根据定义 i x , i t , i  由于  i = i − i−1 x x x ( ) ( ) = i − i−1  t  t i i = ( )t P[ (t), (t)] dt  =      → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )]  i i ( )t  → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )]  i i ( )t (t)  → = =  n i i i i P x 1 0 lim ( , )  对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 Q[ (t), (t)] d t  =     (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果L的方程为=(x),x:α→b,则特别是，P(x, y)dx + Q(x, y)dyJ(P[x, y(x)]+Q[x, y(x)] y'(x)dxx=Φ(t)t:α→β,类似有对空间光滑曲线弧工：y=y(t)人z =0(t)P(x, y,z)dx +Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz[P (P[p(t), y (t), o (t)]g'(t)+Q[d(t), y(t), o(t)]y'(t)+ R[Φ (t), y(t), o (t)]o'(t) fd tHIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束定理目录

特别是, 如果 L 的方程为 y = (x), x : a → b, 则 P x x Q x x  x b a [ , ( )] [ , ( )] d  =  +  (x) 对空间光滑曲线弧 : 类似有   =   (t) (t) (t) P[ (t), (t), (t)] : , ( ) ( ) ( )      → = = = t z t y t x t 定理 目录 上页 下页 返回 结束