《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章课件_8.3幂级数

第三节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算HIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束

第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

函数项级数的概念一、设un(x)（n □l,2,）为定义在区间I上的函数,称un(x)ui(x)u2(x)un(x)n为定义在区间I上的函数项级数口对xoI，若常数项级数「un(xo)收敛，称xo为其收n敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域福un(xo）发散，称xo为其发散点,若常数项级数，所有n发散点的全体称为其发散域HIGHEDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在收敛域上，函数项级数的和是x的函数 S(x)，称它为级数的和函数，并写成福S(x) un(x)n若用 Sn(x)表示函数项级数前 n项的和即nSn(x) uk(x)kl令余项rn(x) S(x) Sn (x)则在收敛域上有lim rn (x) 0lim Sn(x) S(x)nnoHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1x2xnxn例如，等比级数nO它的收敛域是（l,1）,当x(l,1)时，有和函数咖10xno它的发散域是（，1］及［1，），或写作x□1IxOn级数又如，(x0），当x1时收敛，2nno但当○x|1时,lim un(x),级数发散;n口口x1所以级数的收敛域仅为HIGHEDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束

例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 或写作 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

幂级数及其收敛性二、口形如an(x xo)" ao a(x xo) a2(x xo)? noan(xxo)" 的函数项级数称为幂级数其中数列an（no,l,)称为幂级数的系数下面着重讨论 xoO的情形,即福ntaoaixazx"anx"口福no即是此种情形例如，幂级数noHIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 机动 目录 上页 下页 返回 结束

ntn定理1.（Abel定理）若幂级数ano在xxo点收敛,则对满足不等式|x|口xo阿贝尔NH的一切x幂级数都绝对收敛反之,若当xx。时该幂级数发散，则对满足不等式xxo的一切x，该幂级数也发散证：设anx 收敛，则必有lim_anx0,于是存在nnon常数M>0,使M(n□1.2,口）anxo收敛发散发散x发散收敛HIGH EDUCATION PRESS阿贝尔目录上页返回下贝结束

发 散 收 敛 发 散 收敛 发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使 阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束

nn七2xan|中兰MxnnxnXXo口ntn一收敛,当xxo|时，M口也收敛，a,Xonono故原幂级数绝对收敛反之，若当xxo时该幂级数发散，下面用反证法证之假设有一点 x,满足|xi|口xo「且使级数收敛，则由前面的证明可知，级数在点x。也应收敛，与所设矛盾故假设不真．所以若当x口xo时幂级数发散，则对一切证毕满足不等式|x口xo|的x，原幂级数也发散HIGHEDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

当 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 满足不等式 所以若当 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束

L的收敛域是以原点为lanxn由Abel定理可以看出，口no中心的区间用±R表示幂级数收敛与发散的分界点，则R=0 时,幂级数仅在 x=0 收敛 ;R= 时,幂级数在（一8,+)收敛:OR□，幂级数在（一R,R）收敛；在『一R,R外发散：在xR可能收敛也可能发散R称为收敛半径，（一R,R）称为收敛区间（一R，R）加上收敛的端点称为收敛域收敛发散发散x发散收敛OOHIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = ￾ 时, 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散; 在 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 收 敛 发 散 收敛 发散 机动 目录 上页 下页 返回 结束

n定理2.若anx"的系数满足1口口，则limnnon1)当 时,R2)当 =0时R□;3)当 =时,R0anaxhanl证：limlim中x|xhhnonXnn1)若0,则根据比值审敛法可知:原级数收敛：当x1，即||时,当x|1，即|x|时，原级数发散HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

定理2. 若 的系数满足 证: 1) 若￾ ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当 原级数收敛; 当 原级数发散. 即 时, 1) 当￾ ≠0 时, 2) 当￾ ＝0 时, 3) 当￾ ＝∞时, 即 时, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此级数的收敛半径R口2）若0,则根据比值审敛法可知，对任意x原级数绝对收敛，因此R口口：3)若□,则对除x= 以外的一切 x原级发散因此RO说明：据此定理nCnt的收敛半径为R口limn口口noanHIGHEDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

2) 若 则根据比值审敛法可知, 绝对收敛 , 3) 若 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 , 对任意 x 原级数 因此 因此 的收敛半径为 说明:据此定理 因此级数的收敛半径 机动 目录 上页 下页 返回 结束