华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 3.3 多维随机变量函数的分布

第三章多维随机变量及其分布 第1页 §3.3多维随机变量函数的分布 问题：已知二维随机变量(X,)的分布， 如何求出Z=gX的分布？ 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第1页 §3.3 多维随机变量函数的分布 问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布， 如何求出 Z=g (X, Y)的分布？

第三章多维随机变量及其分布 第2页 3.3.1多维离散随机变量函数的分布 (1)设K,X,X,)是n维离散随机变量 则Z=gX,.,X,)是维离散随机变量 (2)多维离散随机变量函数的分布是容易求的： )对(X,X2,X)的各种可能取值对， 写出Z相应的取值 )对的相同的取值，合并其对应的概率 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第2页 (1) 设(X1 , X2 , ., Xn ) 是n维离散随机变量， 则 Z = g(X1 , ., Xn ) 是一维离散随机变量. 3.3.1 多维离散随机变量函数的分布 (2) 多维离散随机变量函数的分布是容易求的： i) 对(X1 , X2 , ., Xn )的各种可能取值对， 写出 Z 相应的取值. ii) 对Z的 相同的取值，合并其对应的概率

第三章多维随机变量及其分布 第3页 例3.3.1设二维随机变量(X,Y)的联合分布列如下所示： Y -1 1 2 -1 5/20 2/20 6/20 2 3/20 3/20 1/20 试求：（1)Z,=X+y:(2)Z2=X-Y;(3)Z,=max{X,Y的分布列. 解将(X,Y)及各个函数的取值对应列于同一表中： P 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 (x,Y) (-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2) Z=X+Y -2 0 1 3 y Z:=X-Y 0 -2 -3 3 1 0 Z,=maxX,YI -1 1 2 2 2 2 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第3页

第三章多维随机变量及其分布 第4页 解将(X,Y)及各个函数的取值对应列于同一表中： P 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 (X,Y) (-1,-1) (-1,1)》 (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2) Z,=X+Y -2 0 3 4 Z;=X-Y 0 -2 -3 3 1 0 Z,=maxI X,YI -1 1 2 2 2 2 Z=X+Y -2 0 1 3 4 P 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20 Z:=X-Y -3 -2 0 1 3 P 6/20 2/20 6/20 3/20 3/20 z,=maxIX.Y -1 1 2 5/20 2/20 13/20 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第4页

第三章多维随机变量及其分布 第5页 33.2 最大值与最小值分布 例3.3.1设X与Y独立，且X,Y等可能地取值0 和1.求Z=max(X,)的分布列 解 X01 Y 2i2 P1/212 Z=maxX,Y)的取值为：0,1 P(Z=0)=PX=0,Y=0)=PX=0)P(Y=0)=1/4 P(Z=1)=PX=0,Y=1)+PX=1,Y=0)+PX=1,Y=1) =3/4 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第5页 3.3.2 最大值与最小值分布 例3.3.1 设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布列. 解: X 0 1 P 1/2 1/2 Y 0 1 P 1/2 1/2 Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1 P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) =1/4 P(Z=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) = 3/4

第三章多维随机变量及其分布 第6页 例3.3.4（最大值分布）设X,X2,·,X。是相互独立的n个随机变量，若 Y=maxX,X2,.,X,I.试在以下情况下求Y的分布： (1)X,~F(x),i=1,2,.,n (2)诸X,同分布，即X一F(x),i=1,2,.,n: (3)诸X,为连续随机变量，且诸X同分布，即X,的密度函数均为P(x) 解 (1)Y=maxX,X2,.,X的分布函数为 F(y)=P(maxX,X,.,X,≤y)=P(X,≤y,X2≤y,.,X.≤y） =P(X≤y)P(X2≤y).P(X,≤y)= F.(y) (2)将X,的共同分布函数F(x)代入上式得 F(y)=[F(y)] (3)Y的分布函数仍为上式，密度函数可对上式关于y求导得 P(y）=F(y)=nF(y)Jp(y 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第6页

第三章多维随机变量及其分布 第7页 例3.3.5（最小值分布）设X,X,.,X。是相互独立的n个随机变量，若 Y=minX,X2,.,Xl.试在以下情况下求Y的分布： (1)X一F(x),i=1,2,.,n (2)诸X,同分布，即X一F(x),i=1,2,.,n (3)诸X,为连续随机变量，且诸X同分布，即X,的密度函数为(x) 解 (1)y=minX,X2,.,X,|的分布函数为 F,(y)=P(minX,X2,.,Xl≤y) =l-P(minX.X2.,X.>y)=1-P(X,>y,X>y,.,X,>y) =1-P(X,>y)P(X,>y).P(X.>y) =1- [1-F,(y)] (2)将X的共同分布函数F(x)代入上式得 F,(y)=1-[I-F(y)]. (3)Y的分布函数仍为上式，密度函数可对上式关于y求导得 Pr(y)=Fi(y)=n[I-F(y)]"'p(y). 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第7页

第三章多维随机变量及其分布 第8页 最值的分布 设X,X2.Xm独立同分布，其分布函数 和密度函数分别为Fx)和P(x).若记 Y=max(X,X2,.Xn),Z=min(Xi,X2,.Xn) 则Y的分布函数为：Fx=[Fyn Y的密度函数为：p0)=n[Fxy]-1py) Z的分布函数为：Fa)=1-[1-F(e]n Z的密度函数为：pa)=n[1-Fe]-1p) 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第8页 设 X1 , X2 , . Xn , 独立同分布，其分布函数 和密度函数分别为 FX (x) 和 pX (x). 最值的分布 若记 Y = max (X1 , X2 , . Xn ), Z = min (X1 , X2 , . Xn ) 则 Y 的分布函数为: FY (y) = [FX (y)] n Y 的密度函数为: pY (y) = n[FX (y)] n−1 pX (y) Z 的分布函数为: FZ (z) = 1−[1− FX (z)] n Z 的密度函数为: pZ (z) = n[1− FX (z)] n−1 pX (z)

连续场合的卷积公式 概率论与款理统针」 1.Z=X+Y(和)的分布 设(X,Y的概率密度为p(x,y),则Z=X+Y 的分布函数为 Fa)=PZs8=∬ p(x.y)dxdy x+y≤Z px)dx dy x+y=7 =4-'pu-yna叫a fIfpu-y.y)dy]du

设(𝑋, 𝑌)的概率密度为𝑝(𝑥, 𝑦), 则𝑍 = 𝑋 + 𝑌 的分布函数为 F (z) P{Z z} Z =  = ඵ 𝑥+𝑦≤𝑧 𝑝(𝑥, 𝑦) d 𝑥 d 𝑦 x y O x + y = z x = u − y 连续场合的卷积公式 1. Z=X+Y （和）的分布 = න −∞ +∞ [ න −∞ 𝑧−𝑦 𝑝 𝑥, 𝑦 d 𝑥] d 𝑦 න −∞ +∞ [න −∞ 𝑧 𝑝 𝑢 − 𝑦, 𝑦 d 𝑢] d 𝑦 = න −∞ 𝑧 [න −∞ +∞ 𝑝(𝑢 − 𝑦, 𝑦) d 𝑦] d 𝑢

Fao-nzs- +00 p(u-y,y)dy]du. 概率伦与敖理统针 由此可得概率密度函数为 十00 pz(z)=p(z-y.y)dy. 由于X与Y对称，pza)=nxz-dx 当X,Y独立时，pz(2)也可表示为 pz(z)=Px(z-y)py(y)dy, 或卫z(②)= px(x)py(z-x)dx

由此可得概率密度函数为 𝑝𝑍(𝑧) = න −∞ +∞ 𝑝(𝑧 − 𝑦, 𝑦) d 𝑦 . 𝑝𝑍(𝑧) = න −∞ +∞ 由于 X 与 Y 对称, 𝑝(𝑥, 𝑧 − 𝑥) d 𝑥 . 当 X, Y 独立时, 𝑝𝑍(𝑧) = න −∞ +∞ 𝑝𝑋(𝑧 − 𝑦)𝑝𝑌(𝑦) d 𝑦 , 或 𝑝𝑍(𝑧) = න −∞ +∞ 𝑝𝑋(𝑥)𝑝𝑌(𝑧 − 𝑥) d 𝑥 . F (z) P{Z z} Z =  = න −∞ 𝑧 [න −∞ +∞ 𝑝(𝑢 − 𝑦, 𝑦) d 𝑦] d 𝑢 . 𝑝𝑍(𝑧)也可表示为