华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 随机事件与概率 1.5 独立性

第一章第1页随机事件与概率$1.5独立性事件的独立性直观说法：对于两事件，若其中任何一个事件的发生不影响另一个事件的发生则这两事件是独立的← P(A|B) = P(A) P(AB)/P(B) = P(A)← P(AB) = P(A)P(B)4April2025

第一章 随机事件与概率 4 April 2025 第1页 事件的独立性 直观说法：对于两事件，若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生， 则这两事件是独立的.  P(A|B) = P(A)  P(AB)/P(B) = P(A)  P(AB) = P(A)P(B) §1.5 独立性

第一章第2页随机事件与概率1.5.1两个事件的独立性10定义1.5.1若事件A与B满足：P(AB)=P(A)P(B)则称A与B相互独立，简称A与B独立0结论A、B为两个事件，若 P(A)>0,则A与 B独立等价于P(BA)=P(B)10 性质1.5.1 若事件A与B独立，则A与 B独立、 A与 B独立、 A与 B独立4 April 2025

第一章 随机事件与概率 4 April 2025 第2页 定义1.5.1 若事件 A 与 B 满足： P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立. 结论 A、B 为两个事件，若 P(A)>0, 则 A 与 B 独立等价于 P(B|A)=P(B). 性质1.5.1 若事件A与B独立，则 A 与 独立、 与 B独立、 与 独立. 1.5.1 两个事件的独立性

第一章第3页随机事件与概率请同学们思考两事件相互独立与两事件互斥的关系P(AB)=P(A)P(B)两事件相互独立二者之间没有必然联系两事件互AB=O例如若 P(A)=二,BAB则 P(AB)= P(A)P(B)A由此可见两事件相互独立，但两事件不互厅4 April 2025

第一章 随机事件与概率 4 April 2025 第3页 两事件相互独立 P(AB) = P(A)P(B) 两事件互斥 AB =  A B , 2 1 , ( ) 2 1 若 P(A) = P B = AB 则 P(AB) = P(A)P(B). 例如 由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥. 两事件相互独立与两事件互斥的关系. 请同学们思考 二者之间没 有必然联系

第一章第4页随机事件与概率若 P(A)=,P(B)=}则 P(AB) = 0,BAP(A)P(B) =故 P(AB) ≠ P(A)P(B).由此可见两事件互斥但不独立4 April 2025

第一章 随机事件与概率 4 April 2025 第4页 A B 2 1 , ( ) 2 1 若 P(A) = P B = 故 P(AB)  P(A)P(B). 由此可见两事件互斥但不独立. 则 P(AB) = 0, , 4 1 P(A)P(B) =

第一章第5页随机事件与概率事件独立性的判断实际应用中，往往根据经验来判断两个事件的独立性：例如返回抽样、重复试验等甲乙两人分别工作4April2025

第一章 随机事件与概率 4 April 2025 第5页 实际应用中，往往根据经验来判断两个事件 的独立性：例如 返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等. 事件独立性的判断

第一章第6页随机事件与概率1.5.2多个事件的相互独立性对于A、B、C三个事件，称满足P(AB)-P(A)P(B),P(AC)-P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)为A、B、C 两两独立称满足 ： P(ABC)-P(A)P(B)P(C)为A、B、C三三独立定义153 A满足：若事件AA2两两独立、三三独立nn独立则称A,AA相互独立4April 2025

第一章 随机事件与概率 4 April 2025 第6页 1.5.2 多个事件的相互独立性 ➢ 对于A、B、C三个事件，称满足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C) 为A、B、C 两两独立. ➢ 称满足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 为A、B、C三三独立. 定义1.5.3 若事件 A1 ,A2 ,., An满足： 两两独立、三三独立、.、n n 独立 则称A1 ,A2 ,., An 相互独立

第一章第7页随机事件与概率例1.5.1 两射手独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.9和0.8，求目标被击中的概率解：设A=“甲中”，B=“乙中”，C=“目标被击中”，所-以解法）P(C) = P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.9x0.8=0.98解法i)用对立事件公式P(C) = P(AUB) = 1- (1 - 0.9)(1 - 0.8)= 1- 0.02=0.98.4April2025

第一章 随机事件与概率 4 April 2025 第7页 例1.5.1 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率. 解: 设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所 以 解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)−P(A)P(B) = 0.9+0.8−0.90.8 = 0.98. 解法ii) 用对立事件公式 P(C) = P(AB) = 1− (1 − 0.9)(1 − 0.8) = 1− 0.02 = 0.98

第一章第8页随机事件与概率例1.5.5 元件工作独立，求系统正常工作的概率记A,=“第i个元件正常工作”，P,=P(A)两个元件的串联系统：P(A,A2)=PiP2两个元件的并联系统：(2)P(A, UA2) = pi+ p2 - piP2 = 1-(1- pi)(1- p2)4April2025

第一章 随机事件与概率 4 April 2025 第8页 例1.5.5 元件工作独立，求系统正常工作的概率. 记 Ai = “第i个元件正常工作” ， pi = P(Ai ) . (1) 两个元件的串联系统： P(A1 A2 )=p1 p2 (2) 两个元件的并联系统： P(A1 A2 ) = p1+ p2 − p1 p2 = 1−(1− p1 )(1− p2 )

第一章第9页随机事件与概率1.5.3试验的独立性若试验E,的任一结果与试验E,的任一结果都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立，或称独立试验4April2025

第一章 随机事件与概率 4 April 2025 第9页 若试验E1的任一结果与试验E2的任一 结果都是相互独立的事件，则称这两个 试验相互独立，或称独立试验. 1.5.3 试验的独立性

第一章第10页随机事件与概率n重伯努里试验伯努里试验若某种试验只有两个结果(成功、失败；黑球、白球；正面、反面)则称这个试验为伯努里试验在伯努里试验中，一般记“成功”的概率为pn 重伯努里试验 :n次独立重复的伯努里试验4April2025

第一章 随机事件与概率 4 April 2025 第10页 ➢ 伯努里试验： 若某种试验只有两个结果 (成功、失败； 黑球、白球；正面、反面)， 则称这个试验为伯努里试验. ➢ 在伯努里试验中，一般记“成功”的概率为p. ➢ n 重伯努里试验： n次独立重复的伯努里试验. n 重伯努里试验