《数学分析》课程教学课件（讲稿）反常积分的定义

§1反常积分概念 反常积分讨论的是无穷区间上的积 分和无界函数的积分，是定积分概念 的推广， 一、反常积分的背景 二、两类反常积分的定义 前辽 越回

前页 后页 返回 §1 反常积分概念 一、反常积分的背景 反常积分讨论的是无穷区间上的积 分和无界函数的积分，是定积分概念 的推广. 二、两类反常积分的定义 返回

一、反常积分的背景 在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间 的有穷性；被积函数的有界性 但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间 上的“积分”或无界函数的积分”， 例1（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火 箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初 速度y至少要多大？ 前卫

前页 后页 返回 一、反常积分的背景 在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间 但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间 例1(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火 的有穷性; 被积函数的有界性. 上的“积分”或无界函数的“积分” . 箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初 速度 v0 至少要多大？

解设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重 力加速度为g,按万有引力定理，在距地心x(R) 处火箭所受的引力为 F=mgR2 北2 于是火箭从地面上升到距地心为r《R)处需作功 9edr=mgRe！.16 mgR2 ěRrg

前页 后页 返回 解 设地球半径为 R,火箭质量为 m,地面上的重 处火箭所受的引力为 于是火箭从地面上升到距地心为 处需作功 力加速度为 g, 按万有引力定理, 在距地心

当r®+￥时，其极限mgR就是火箭无限远离地 球需作的功.于是自然把这一极限写作上限为 +￥的积分 mgR2 dy-mgR. 由机械能守恒定律可求初速度v至少应使 mvi-mgn. 用g=9.81(m/s2),R=6.371'10(m)代入，得 y=√2gR》11.2(km/s). 前

前页 后页 返回 时,其极限 mgR 就是火箭无限远离地 由机械能守恒定律可求初速度 至少应使 球需作的功．于是自然把这一极限写作上限为

例2圆柱形桶的内壁高为九，内半径为R,桶底有 一半径为r的小孔.试问从盛满水开始打开小孔 直至流完桶中的水，共需多少时间？ 解桶内水位高度为h-x时，流出水的 速度为 v=2g(h-x). 在时间dt内，桶中液面降低的微小量为dx,它们 之间应满足πRdx=mr2dt,因此 R2 dt -dx,xI 0,h. r2√2g(h-x)

前页 后页 返回 例2 圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R,桶底有 在时间d t内,桶中液面降低的微小量为d x,它们 解 桶内水位高度为 时,流出水的 速度为 一半径为 r 的小孔．试问从盛满水开始打开小孔 直至流完桶中的水,共需多少时间？ 之间应满足 因此

于是流完一桶水所需时间为 R2 10F2g- -dx. 但由于被积函数是0，)上的无界函数，所以它的 确切含义为 n,3 t= R2 dx 母aa兽 lim 前页

前页 后页 返回 于是流完一桶水所需时间为 但由于被积函数是 上的无界函数,所以它的 确切含义为

二、两类反常积分的定义 定义1设函数f定义在[4，+0)上，且在任何 区间[有限上可积.若存在极限 f()dx1, 则称此极限J为函数f在【a,+￥)上的无穷限反 常积分（简称无穷积分），记作 J f(x)dx, 并称òf(x)dr收敛，否则称òf(x)dr发散. 前页

前页 后页 返回 二、两类反常积分的定义 区间 [a, u] 上可积. 若存在极限 则称此极限 J 为函数 f 在 上的无穷限反 定义1 设函数 f 定义在 [ a, +￾ )上, 且在任何 有限 常积分(简称无穷积分),记作

类似定义 òfax)de=)dx, f()dx-f()dx+f()dx. 其中a是(-￥十￥)内任意一点. 定义2设函数f定义在(a,b]上，在a的任意 该侧无界，但在任何内闭区间[4，b]上有界且可积。 如果存在极限 inof(wdr=J, 前门

前页 后页 返回 类似定义 域内无界, 但在任何内闭区间 [u, b] 上有界且可积. 如果存在极限 定义2 设函数 f 定义在 (a, b] 上, 在 a 的任意 右邻

则称此极限为无界函数f在(，b]上的反常积 绝作 J=of(x)dx, 并称df()dr收敛.若极限imO,f(x)dr不存在。 则称Of(x)dr发散. 通常称为f的瑕点.又称Of(x)x为瑕积分， 类似定义瑕点为b时的瑕积分 dfxwdr=limofwac

前页 后页 返回 则称此极限为无界函数 f 在 (a, b] 上的反常积 分, 类似定义瑕点为 b 时的瑕积分 通常称a 为 f 的瑕点. 记作

其中f在a,b)有定义，在b的任一左邻域内无 任何a,dI[a,b上可积. 若f的瑕点cI(a,b),定义 ()dx-f)dx+d ()dd. = 若0f(x)de和Ofx)dr都收敛，则称Of(x)dx 收敛. 前页

前页 后页 返回 其中 f 在 [a, b) 有定义, 在 b 的任一左邻域内无 界, 若 f 的瑕点 , 定义 在任何 上可积