《数学分析》课程教学课件（讲稿）函数的幂级数展开

§2函数的幂级数展开 由泰勒公式知道，可以将满足一定条件的 函数表示为一个多项式与一个余项的和，如 果能将一个满足适当条件的函数在某个区间 上表示成一个幂级数，就为函数的研究提供 了一种新的方法. 一、泰勒级数 二、初等函数的幂级数展开式 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §2 函数的幂级数展开 由泰勒公式知道, 可以将满足一定条件的 函数表示为一个多项式与一个余项的和. 如 果能将一个满足适当条件的函数在某个区间 上表示成一个幂级数, 就为函数的研究提供 了一种新的方法. 返回 二、初等函数的幂级数展开式 一、泰勒级数

一、泰勒级数 在第六章§3的泰勒定理中曾指出，若函数在点x 的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则 =x+f0x-+fx-xP+ 21 ((x+R(x) () n! 这里为R(x)拉格朗日型余项 &n-得w (2) 前页

前页 后页 返回 一、泰勒级数 在第六章§3的泰勒定理中曾指出, 若函数f在点x0 的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数, 则  = + − + − +  0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! f x f x f x f x x x x x 这里为 ( ) R x n 拉格朗日型余项 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) , (2) ( 1)! n n n f R x x x n  + + = − + + − + ( ) 0 0 ( )( ) ( ), (1) ! n n n f x x x R x n

其中5在x与x之间，称(1)式为f在点x的泰勒公式， 由于余项R（x)是关于(x-x)”的高阶无穷小，因此 在点x,附近∫可用（①）式右边的多项式来近似代替， 这是泰勒公式带来的重要结论. 再进一步，设函数f在x=x,处存在任意阶导数，就 可以由函数f得到一个幂级数 )+xx)+x 2 +fx(x-x+., 3) n! 前页 返回

前页 后页 返回 ( ) R x n 0 ( )n 由于余项 是关于 x x − 的高阶无穷小, 因此 在点 0 x 附近 f 可用(1)式右边的多项式来近似代替, 这是泰勒公式带来的重要结论. 再进一步, 设函数 f 在 0 x x = 处存在任意阶导数, 就 可以由函数 f 得到一个幂级数 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! f x f x f x x x x x  + − + − +  ( ) 0 0 ( )( ) , (3) ! n n f x x x n + − + 其中 在x与x0之间, 称(1)式为 f 在点 0  x 的泰勒公式

通常称(3)式为f在x=x处的泰勒级数.对于级数 (3)是否能在点x附近确切地表达f,或者说级数3) 在点x,附近的和函数是否就是f本身，这就是本节 所要着重讨论的问题.请先看一个例子 例1由于函数 f(x)= ,x≠0， 0, x=0 在x=0处的任意阶导数都等于0（见第六章§4第 二段末尾)，即 前页 返

前页 后页 返回 通常称 (3) 式为 f 在 0 x x = 处的泰勒级数. 对于级数 (3)是否能在点 0 x 附近确切地表达 f , 或者说级数(3) 0 在点 x 附近的和函数是否就是 f 本身, 这就是本节 所要着重讨论的问题. 请先看一个例子. 例1 由于函数 2 1 e , 0, ( ) 0, 0 x x f x x  −   =   = 在 x = 0 处的任意阶导数都等于0 (见第六章§4 第 二段末尾), 即

fm(0)=0,n=1,2,., 因此f在x=0的泰勒级数为 0+0+2+.+0+ 2:1 n! 显然它在(-o,+o)上收敛，且其和函数S(x)=0.由 此看到，对一切x≠0都有f(x)≠S(x). 上例说明，具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不 都能收敛于该函数本身，哪怕在很小的一个邻域内. 那么怎样的函数，其泰勒级数才能收敛于它本身呢？ 前页

前页 后页 返回 ( )(0) 0 , 1,2, , n f n = = 因此 f 在 x = 0 的泰勒级数为 0 0 2 0 0 . 2! ! n x x x n +  + + + + 显然它在 ( , ) − +  上收敛, 且其和函数 S x( ) 0 = . 由 此看到, 对一切 x  0 都有 f x S x ( ) ( )  . 上例说明, 具有任意阶导数的函数, 其泰勒级数并不 都能收敛于该函数本身, 哪怕在很小的一个邻域内. 那么怎样的函数, 其泰勒级数才能收敛于它本身呢?

定理14.11设f在点xo具有任意阶导数，那么f在 区间（飞。一r,x,+)上等于它的泰勒级数的和函数的 充分条件是：对一切满足不等式x一x<r的x,有 lim R,(x)=0, 这里R(x)是f在点x泰勒公式的余项. 本定理的证明可以直接从第六章§3泰勒定理推出 如果f能在点x的某邻域上等于其泰勒级数的和函 数，则称函数f在点飞，的这一邻域内可以展开成泰 勒级数，并称等式 前页

前页 后页 返回 定理14.11 设 f 在点 0 x 具有任意阶导数, 那么 f 在 区间 0 0 ( , ) x r x r − + 上等于它的泰勒级数的和函数的 0 充分条件是: 对一切满足不等式 | | x x r −  的 x , 有 lim ( ) 0, n n R x → = ( ) R x n 0 这里 是 x f 在点 泰勒公式的余项. 本定理的证明可以直接从第六章§3泰勒定理推出. 如果 f 能在点 0 x 的某邻域上等于其泰勒级数的和函 数, 则称函数 f 在点 0 x 的这一邻域内可以展开成泰 勒级数, 并称等式

f9)=fx,)+fx,(x-x）+"(x-x2+ 21 +f(x-x,”+ (4) n! 的右边为f在x=x处的泰勒展开式，或幂级数展 开式 由级数的逐项求导性质可得： 若f为幂级数∑4n"在收敛区间（←R,R)上的和函 =0 数，则∑4nx“就是∫在(R,R)上的泰勒展开式， 前 返回

前页 后页 返回  = + − + − +  0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! f x f x f x f x x x x x 的右边为 f 在 0 x x = 处的泰勒展开式, 或幂级数展 开式. 由级数的逐项求导性质可得: 0 n n n a x  = 若 f 为幂级数  在收敛区间 ( , ) −R R 上的和函 0 n n n a x  = 数, 则  就是 f 在 ( , ) −R R 上的泰勒展开式, + − + ( ) 0 0 ( )( ) (4) ! n n f x x x n

即幂级数展开式是惟一的. 在实际应用上，主要讨论函数在x,=0处的展开式， 这时(3)式就变成 f0+f0x+f0x++f0x+ 1! 2 n! 称为麦克劳林级数， 从定理14.11知道，余项对确定函数能否展开为幂级 数是极为重要的，下面我们重新写出当x,=0时的 前页 返回

前页 后页 返回 即幂级数展开式是惟一的. 在实际应用上, 主要讨论函数在 0 x = 0 处的展开式, 这时(3)式就变成 ( ) 2 (0) (0) (0) (0) , 1! 2! ! n n f f f f x x x n   + + + + + 称为麦克劳林级数. 从定理14.11知道, 余项对确定函数能否展开为幂级 数是极为重要的, 下面我们重新写出当 0 x = 0 时的

积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项，以便 于后面的讨论.它们分别是 R.()=f0x-0rd业， Rfx5在0与之间 R()0/-oxN1-9叭x,0s0s1 前页 返回

前页 后页 返回 积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项, 以便 于后面的讨论. 它们分别是 ( 1) 0 1 ( ) ( )( ) d , ! x n n R x f t x t t n n + = −  1 ( 1) 1 ( ) ( ) , 0 , ( 1)! n n R x f x x n n   + + = + 在 与 之间 1 ( 1) 1 ( ) ( )(1 ) ,0 1. ! n n n R x f x x n n    + + = −  

二、初等函数的幂级数展开式 例2求k次多项式函数 f(x)=C+Cx+c2x2+.+cx 的幂级数展开式 解由于 n>k, 总有imR.(x)=0,因而 前页 后页 返回

前页 后页 返回 二、初等函数的幂级数展开式 例2 求k次多项式函数 2 0 1 2 ( ) k k f x c c x c x c x = + + + + 的幂级数展开式. 解 由于 ( ) ! , , (0) 0, , n n c n k n f n k   =    lim ( ) 0, n n R x → 总有 = 因而