《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章课件_6.4多元函数微分学的应用

第四节 第六章 多元西数微分学的应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、多元函数的极值 HIGH EDUCATION PRESS 返回结

第四节 复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的应用 第六章 三、多元函数的极值

复习：平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线y口f(x)在点(xo,yo)有 切线方程y口yo口fx,)(x☐xo) 法线方程y口yo口☐ (xxo） f(o) 若平面光滑曲线方程为F(x,y)口0，因 dy F(x,y) 故在点(xo,yo)有 切线方程Fx(x,yo)(x☐x)☐F,(xo,yoXy口o)口0 法线方程F,(x0,yox口x)☐F.(xo,y0)(y口y)☐0 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结束

复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 切线方程 法线方程 若平面光滑曲线方程为 故在点 切线方程 法线方程 在点 有 有 因 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限 位置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面 HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 下页 返回结

一、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面

1.曲线方程为参数方程的情况 □：x□口(t),y□0(t),z口□(t) 设t☐t0对应M(xo,yo,20) t口to口t对应M(x,口口x,yo口□y,2o口z) 割线MM的方程： x0y%20 ☐x □y Cz 上述方程之分母同除以口1，令口t口0，得 切线方程 12020 ▣(t,) HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结束

1. 曲线方程为参数方程的情况 切线方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

此处要求口，)，口(t,),口(t,)不全为0， 如个别为0，则理解为分子为0 切线的方向向量： Ta(ato),口(o),口)》 称为曲线的切向量· T也是法平面的法向量，因此得法平面方程 口(，(x口x)□□(4o)(y☐yo)口口(to)(z口z0)□0 说明：若引进向量函数7(t)☐(C(t),口(t),口())，则口 为r(①)的矢端曲线，而在t0处的导向量 ro)口（口Co),口(4o),口o) 就是该点的切向量 音HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

此处要求 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不全为0, 因此得法平面方程 说明: 若引进向量函数 , 则 ￾ 为 r (t) 的矢端曲线, 处的导向量 就是该点的切向量

例1.求圆柱螺旋线x口Rcos口，y☐Rsin口，z口k口在 口口号对应点处的切线方程和法平面方程 解：由于x□Rsm0,y中R cos,z四k,当0☐g时， 对应的切向量为T□（□R,0,),故 Mo(0,R,k) 切线方程 ▣R 0 即 kx Rz□5Rk■0 ay口R00 法平面方程□Rx口k(z口，k)口0 即 Rx口kzD,k2o0 HIGH EDUCATION PRESS

例1. 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 法平面方程 即 即 解: 由于 对应的切向量为 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 故

单选题1分 ⊙设置 1.曲线x=2sin.y=4cos1,2=1在点2,0. )处的法 平面方程是() 2x-2=4- 2 2x-z= .4 2 4w=号 HIGH EDUCATION PRESS 提交

1.曲线 在点 处的法 平面方程是（） A B C D 提交 单选题 1分

单选题1分 ⊙设置 2.曲线4x=y,y=√2在点(8,2,4)处的切线方程 是() x-8 20 y-2-34 B x+12 z+4 =1= 20 4 x-8 z-4 5 4 x-3 =y-1= 5 4 HIGH EDUCATION PRESS 提交

2.曲线 在点（8,2,4）处的切线方程 是（） A B C D 提交 单选题 1分

2.曲线为一般式的情况 光滑曲线口： F(x,y,2)☐0 G(x,y,z)☐0 当J口 (F,G) 0时，1可表示为 0(x) 且有 ☐(y,z) 口(x) dz 1(F,G dx Jz,x) dx J (x,y) 曲线上一点M(x,yo,20)处的切向量为 →Z T口口，☐(xo),口(xo)L 1■(F,G) M (x,y) M HIGH EDUCATION PRESS 知动 目录 上贡 下贡 返回 结束

2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 当 曲线上一点 时, ￾ 可表示为 , 且有 处的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

或7 口■(F,G) ■(F,G ☐(F,G) L厂 (y,z) M □(2，x) M ☐(x,y) M 则在点M(x0,yo,o)有 x□x0 y□yo z□20 切线方程 〖F,G) [F,G) [F,G) [(y,z) M (z,x) M (x,y) M F,G) 法平面方程 (y,z) a9 (y回yo) M F,G) (z□z0)☐0 x,y)M HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上

则在点 切线方程 法平面方程 有 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束