《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第8章课件

Advanced mathematics 第八章 高等数学 无穷级数

第八章 无穷级数 Advanced mathematics 第八章 高等数学 无穷级数

第八章 内容导航 第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛准则 第三节幂级数的收敛及函数的展开式

第八章 无穷级数 第八章 内容导航 第二节 常数项级数的审敛准则 第三节 幂级数的收敛及函数的展开式 第一节 常数项级数的概念与性质

课前导读 无穷级数是逼近理论中的重要内容之一，也是微积分学的重要 组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一 种极为有用的数学工具， 本章将分别讨论常数项级数和函数项级数，前者是后者的基 础在函数项级数中，将讨论幂级数，它在科学技术中有着非常广 泛的应用

课 前 导 读 无穷级数是逼近理论中的重要内容之一,也是微积分学的重要 组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一 种极为有用的数学工具. 本章将分别讨论常数项级数和函数项级数，前者是后者的基 础.在函数项级数中，将讨论幂级数，它在科学技术中有着非常广 泛的应用

引例 第八章无穷级数 引例橡皮绳长1m,蠕虫沿着绳子一端爬行，第1秒爬了1cm,第2秒爬了号cm, 如此下去，第n秒爬了cm,第2k秒，蠕虫爬了cm,蠕虫需要多长时间达到终点呢？ 解 1+++.+ =1++(侣+)+(+名++)+.+(++.+) ≥1++（任+）+（后+后+后+）+.+（侯+.+） =1+-100k=198

引例 第八章 无穷级数 引例 橡皮绳长1m，蠕虫沿着绳子一端爬行，第1秒爬了1 cm，第2秒爬了1 2 cm， 如此下去，第n秒爬了1 n cm，第2 k秒，蠕虫爬了 1 2 k cm，蠕虫需要多长时间达到终点呢？ 1+ 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 2 k = 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + ⋯ + 1 2 k−1+1 + ⋯ + 1 2 k ≥ 1+ 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + ⋯ + 1 2 k + ⋯ + 1 2 k = 1+ 𝑘 2 解 = 100 𝑘=198

课前导读 我们再来计算几个和式： 1+2+3+4+.+n=nn+ 2 1,1 1+。+22十：+ 2 2 我们很容易得到项求和的结果，那么如果"无限项”相加会是 什么样的结果呢？

课 前 导 读 我们再来计算几个和式： 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 n n    −     + + + + = ； 我们很容易得到 n 项求和的结果，那么如果“无限项”相加会是 什么样的结果呢？ ( 1) 1 2 3 4 2 n n n + + + + + + = ；

课前导读 1,1 1+2+3+4+.+n+.=? 1+2+2交+.+ +.=7 我们可以把项和取极限，作为无穷多项相加的和，则可以得到： 1+2+3+4+.+n+.=lim n(n+1) =00 n-→0 +.1+.+1 1+ 十 2+.=lim 2 2 2 第一个极限不存在，因此“和“不存在；第二个极限存在，因此“和 为2.这就是我们要研究的无限项和的问题，即级数的收敛问题

课 前 导 读 1 2 3 4 ? + + + + + + = n 2 1 1 1 1 ? 2 2 2n + + + + + = 我们可以把n项和取极限，作为无穷多项相加的和，则可以得到： ( 1) 1 2 3 4 lim n 2 n n n →  + + + + + + + = =  ； 2 1 1 1 1 1 1 2 1 lim 2 2 2 2 1 2 n n n→     −     + + + + + = = . 第一个极限不存在，因此“和”不存在；第二个极限存在，因此“和” 为 2. 这就是我们要研究的无限项和的问题，即级数的收敛问题

一常数项级数的概念 第八章无穷级数 人们认识事物在数量方面的特性，往往有一个由近似到精确的过程在这种 认识过程中，会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题

第八章 无穷级数 人们认识事物在数量方面的特性，往往有一个由近似到精确的过程.在这种 认识过程中，会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题. 一､常数项级数的概念 R

常数项级数的概念 第八章无穷级数 定义1设有数列{un}(n=1,2,）,将数列(n=1,2,{4n}中的各项用加号 连接的形式 41+山2+.+4n+. 称为常数项无穷级数，简称级数，记为∑4，其中工是求和符号，称为级数的 一般项（通项）

第八章 无穷级数 定义 1 设有数列un  (n =1,2, ) ，将数列(n =1,2, ) un 中的各项用加号 连接的形式 1 2 n u u u + + + + 称为常数项无穷级数，简称级数，记为 1 n n u  =  ， 一､常数项级数的概念 其 中  是求和符号， n u 称为级数的 一般项（通项）

一、常数项级数的概念 第八章无穷级数 定义2对数列4,42,4，.4n,.,取它的前n项的和 Sn=4+山+4++4=∑4， Sn称为级数的部分和（前n项之和）. 令n=1,2,3,.,得到了由级数部分和所构成的序列（数列）： S1=4,S2=4+42,.Sn=4+h2+43+.+un,. 根据部分和序列有没有极限，来引进无穷级数收敛与发散的定义

第八章 无穷级数 定义 2 对数列 1 2 3 , , , , n u u u u ，取它的前n项的和 1 2 3 1 n n n i i S u u u u u = = + + + + =  ， n S 称为级数的部分和（前n项之和）. 令n =1,2,3,.，得到了由级数部分和所构成的序列（数列）： 1 1 S u = ， 2 1 2 S u u = + ，. n n 1 2 3 S u u u u = + + + + ，.， 根据部分和序列有没有极限，来引进无穷级数收敛与发散的定义. 一､常数项级数的概念

常数项级数的概念 第八章无穷级数 定义3若级数的部分和数列{Sn}有极限S,即1imSn=S,则称无穷级数 11-6 立，收数，这时，极限S就叫做无穷级数父，的和，并写成立=5： 若数列{S,}没有极限，则称无穷级数∑u,发散. n=l 由此可见，讨论无穷级数的收敛问题，实际上就是讨论部分和数列的极限是 否存在

第八章 无穷级数 定义 3 若级数的部分和数列Sn  有极限 S ， 即lim n n S S → = ，则称无穷级数 1 n n u  =  收敛，这时，极限 S 就叫做无穷级数 1 n n u  =  的和，并写成 1 n n u S  =  = ； 一､常数项级数的概念 由此可见，讨论无穷级数的收敛问题，实际上就是讨论部分和数列的极限是 否存在. 若数列Sn 没有极限，则称无穷级数 1 n n u  =  发散