《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第二章 矩阵与向量 2-4 矩阵的秩

弟 二章矩阵与向量 §2.4矩阵的秩 矩阵的行（列秩、秩 矩阵秩与向量组的极 大 三、 阶手联组、秩的求法 四、小结

第二章 矩阵与向量 §2.4 矩阵的秩 一、 矩阵的行(列)秩、秩 二、 矩阵秩与向量组的极 大 三、 k阶子式无关组、秩的求法 四、 小结

第二章矩阵与向量 一、矩阵的行（列秩、秩 定义2.4.1设m×n矩阵A,称A的行向量组的秩称为 矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩。 é101ù 例1求矩胖=D 1 2晋的行秩和列秩。 2 1 4 解：A的行向量a1=(1,0,1),a2=(0,1,2),a3=(2,1,4) 101 由行列式012=0，知向量组a1,a2,3线性相关， 214

第二章 矩阵与向量 定义2.4.1 设m×n矩阵A，称A 的行向量组的秩称为 矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 一、矩阵的行(列)秩、秩 解：

第二章矩阵与向量 又a1,a,线性无关，故a1,a,是A的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵A的行秩等于2. 同样方法可以求出A的列秩等于2. 1131ù 例2求矩阵A=】 2 4的行秩和列秩. 0 00 5d 解： A的行向量a1=(1,1,3,1),02=(0,2,-1,4), 43=(0,0,0,5). 去掉第三个分量的a=(1,1,1),a=(0,2,4), a=(0,0,5)

第二章 矩阵与向量 同样方法可以求出A的列秩等于2. 解：

第二章矩阵与向量 111 由行列式024=1010，知向量组a6aa线性无关 005 由§2.3例5知，向量组a1,a2,a3也线性无关， 所以A的行秩为3. é1d 1ù é3ù elu A的列向量组b,= b2= 24 色2ú b3= 8 b4= 0日 0日 0日 5ǘ 4个三维向量必线性相关，而其中BB3线性无关

第二章 矩阵与向量 4个三维向量必线性相关，而其中β1β2β3线性无关

第二章矩阵与向量 因为 1 2 0=1010 45 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理 定理2.4.1初等行（列变换不改变矩阵的行（列秩 证明：此处只就第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩证明之，其余两种课下自己来完成

第二章 矩阵与向量 因为 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理. 定理2.4.1 初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩. 证明： 此处只就第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩证明之，其余两种课下自己来完成

第二章矩阵与向量 设m'n矩阵A的行向量组a1,2,L，4m,且 1 ù ú 74 色色 4 ú + ka ú A= , 4 s B e aj ú ú 4 i a

第二章 矩阵与向量

第二章矩阵与向量 由 41=a1 LLL a;=(a;+ka )-kaj LLL am=am 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同

第二章 矩阵与向量 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示. 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同

第二章矩阵与向量 定理2.4.1亦可作为初等变换不改变线性方程组中 独立方程的个数的理论依据 定理2.4.2初等行（列变换不改变矩阵列（行） 向量间的线性关系。 1130ù 例3设矩阵A= 02 -1 其列向量 6024 1,2,3,间有线性关系：u4=a1+2a2-u3, 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到. 验证B的列向量b1,b2,b3,b,间也有线性关系 b,=b+2b2-b3

第二章 矩阵与向量 定理2.4.1亦可作为初等变换不改变线性方程组中 独立方程的个数的理论依据 定理2.4.2 初等行(列)变换不改变矩阵列(行) 向量间的线性关系

第二章矩阵与向量 解：对矩阵A作初等行变换如下： é1 3 0ù el 1 3 0ù 3+32 A 2 -1 2 -1 5 ú 0 -6 -16 4日 0 0 -19 191 el 1 3 0 1 1 0 3ù 19 r-3531 2 -1 5 ú 2 0 40 ú 2+53 0 0 1 -1自 001-1日

第二章 矩阵与向量 解：对矩阵A作初等行变换如下 ：

第二章矩阵与向量 ,1é11 0 3ù el 0 1ù 1 0 2 20 1 0 01 -1 001-1 容易看出，B的列向量b1,b2,b3,b:间也有 线性关系b4=b1+2b2-b3 实际上，如果把以上每作一次初等行变换所得到的 矩阵叫做B的话，B的列向量间同样存在上述线性关系. 推论初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）秩

第二章 矩阵与向量 实际上，如果把以上每作一次初等行变换所得到的 矩阵叫做B的话,B的列向量间同样存在上述线性关系. 推论 初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩