《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第四章 线性方程组_4-2齐次线性方程组

第四章线性方程组 §4.2齐次线性方程组 一、齐次线性方程组的性质 D 二、基础解系及其求法 三、小结

第四章￾￾线性方程组 三、小结 二、基础解系及其求法 一、齐次线性方程组的性质 §4.2 齐次线性方程组

第四章线性方程组 一、齐次线性方程组解的性质 设有齐次线性方程组 ia111+412x2+L+41mXn=0 (4-5) LLLLLLLLLLLL amx+am2x2+L+amxn= ean an L a1n ex1ù e L ú e u 若记 A=仓021 u22 eL L dn= -2i L L e Mu ú eú ě0ml am2 L amn exna

第四章 线性方程组 设有齐次线性方程组 若记 （4-5） 一、齐次线性方程组解的性质

第四章线性方程组 则上述方程组(4-5)可写成向量方程 Ax=0 (4-6) 若x1,x2,L,xn为方程(4-5)的解，则 ex1ù eú 北三 è2i e Mu eú exn 为方程(4-6)的解向量，也就是方程 (4-5)的解向量

第四章 线性方程组 则上述方程组（4-5）可写成向量方程

第四章线性方程组 性质42.1两个解向量的和仍然是解向量，即 设x1,x,是方程组(4-5)的解向量，则x1+x,也 是方程组(4-5)的解向量. 证明只需证明x,+比，满足方程组(4-6)即可 Q Ax=0,Ax2=0 A+x2)=Ax+Ax2=0 故x=K1+x2也是Ax=的解

第四章 线性方程组 证明

第四章线性方程组 性质4.2.2一个解向量的倍数仍是解向量，即 设x是方程组(4-5)的解向量，1是任意数， 则1x也是方程组(4-5)的解向量. 证明QA(1x1)=1A(x1)=10=0. 11x也是方程组(4-5)的解向量 由性质4.2.1、4.2.2知，齐次线性方程组(4-5)的 解向量的线性组合仍是(4-5)的解向量. 设x1心2,4，xm,是方程组(4-5)的解向量，I1,l2,41m, 是任意数，则l水，+1x2+4+1mxm,仍是方程组 (4-)的解向量

第四章 线性方程组 证明 由性质4.2.1、4.2.2知，齐次线性方程组(4-5)的 解向量的线性组合仍是(4-5)的解向量

第四章线性方程组 二、基础解系及其求法 方程组(4-5)的全部解向量构成个一个向量空 间，称为方程组(4-5)的解空间.它是R”的一个子空 间. 如果方程组(4-5)有非零解由性质4.2.1、4.2.2 知，它一定有无穷多非零解要求出(4-5)的所有解， 只需求出解空间的一个极大线性无关组就行了. 下面我们来求解空间的一个极大线性无关组。 设线性方程组(4-5)系数矩阵A的秩为r,不妨假 设A的前个列向量线性无关，于是A的行最简形为

第四章 线性方程组 二、基础解系及其求法 方程组(4-5)的全部解向量构成个一个向量空 间,称为方程组(4-5)的解空间. 它是R n的一个子空 间. 如果方程组(4-5)有非零解由性质4.2.1、4.2.2 知，它一定有无穷多非零解.要求出(4-5)的所有解, 只需求出解空间的一个极大线性无关组就行了. 下面我们来求解空间的一个极大线性无关组。 设线性方程组(4-5)系数矩阵A的秩为r,不妨假 设A的前r个列向量线性无关，于是A的行最简形为

第四章线性方程组 el 4 0 burt 4 bin 4 4 4 ⅓ %日 eo 4 1 I brr+l h b h 0 0 4 0ú 4 4 4 4 4 4 e ú 0 0 h 0 与对应的线性方程组为 ix =-b水1-4-bn火， 4 (4-7) -K- x=-b4-B

第四章 线性方程组 与I对应的线性方程组为

第四章线性方程组 显然，线性方程组(4-5)与(4-7)同解，在方程 组(4-7)中，给定x+1.Xm一组确定的数，可惟一 确定x1，x,的值，便得到方程组(4-7)的一个解， 也就是方程组(4-5)的一个解，我们把x+1x称 为自由未知量. 令x+1.xn分别取下列1-r组数 ex,+1ùe1ùé0ù e0ù e.úeoúe1ú èx+2i= úei,L 0 e4ú eh'ehú eh4i e ú e ú e ú 昌 ú xniě0iě0

第四章 线性方程组 显然，线性方程组(4-5)与(4-7)同解，在方程 组(4-7)中，给定xr+1,.,xn一组确定的数，可惟一 确定x1 ,.,xr的值，便得到方程组(4-7)的一个解， 也就是方程组(4-5)的一个解，我们把xr+1,.,xn称 为自由未知量. 令xr+1,.,xn分别取下列n-r组数

第四章线性方程组 由(4-7)依次可得 xùe-b+1-b+2 e-bi. ùd eú_e úe ú 近 eu=e 4 ú ,e 4 i b 从而得到(4-7)也就是(4-5)的-r个解 b,r+2 6× e 4 方 - b.+2 S5S ●●●●●● 9 1 0 o学 eeeeee 1 2= ú， Xn-r = 0 ú 0 ú 4 ú eeeee 1 i 0 4 i 4 0 9 0 1 H

第四章 线性方程组 由(4-7)依次可得 . 从而得到(4-7)也就是(4-5)的n-r个解

第四章线性方程组 下面证明x1心2,4，xm,是解空间的一个基 ú 首先由于食，？近所取的n-r个n-r维向量 e4úi <D: e1ùe0ù é0ù e0ú，e e 线性无关 è4ú'e4ú ehú 昌0吕08 ě10

第四章 线性方程组