《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-4 实对称矩阵的相似对角形

第五章相似矩阵与二次型 §5.4实对称矩阵的相似对角形 一、实对称矩阵的性质 >二、实对称矩阵对角化的方法 产三、小结

第五章 相似矩阵与二次型 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 一、实对称矩阵的性质 二、实对称矩阵对角化的方法 三、小结

第五章相似矩阵与二次型 一、 实对称矩阵的性质 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题， 现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正交 矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似为此，我们 首先证明下面三个引理 引理5.4.1实对称矩阵的特征值为实数， 证明设复数！为对称矩阵的特征值，复向量为 对应的特征向量， 即 Ax=1x,x10. 用1表示1的共轭复数，表示x共轭复向量， 则 Ax=Ax=(Ax)=(lx)=1x

第五章 相似矩阵与二次型 引理5.4.1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 一、实对称矩阵的性质 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题， 现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正交 矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似.为此，我们 首先证明下面三个引理

第五章相似矩阵与二次型 于是有xMx=xAx)=xx=lx水， 另外 x=x=(Ax)x=(I x)x=1 xfx 两式相减，得 (L-I)x4=0. 但因为x10, 所以 x=axx=ax10,b(-1)=0, i=1 i-1 即1=1，由此可得1是实数

第五章 相似矩阵与二次型 于是有 两式相减，得 另外

第五章相似矩阵与二次型 定理5.4.1的意义 由于对称矩阵4的特征值：为实数，所以齐次 线性方程组 (A-1,E)x=0 是实系数方程组，由A-1,E=0知必有实的基础解 系，从而对应的特征向量可以取实向量

第五章 相似矩阵与二次型 定理5.4.1的意义

第五章相似矩阵与二次型 引理5.4.2实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的 证明设p,是对称矩阵的不同的两个特征值 11,1,的特征向量，即 Ap1=11P1,Ap2=12P2, QA=Ag I P=(Ip)=(Ap)g=p CAg=p.CA, 于是11Pp2=p,Ap2=p112P2)=12pp2, (1-12pp2=0. Q1,'12”\p,p2=0.即p与p2正交

第五章 相似矩阵与二次型 证明 于是 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的

第五章相似矩阵与二次型 引理5.4.3设A为阶对称矩阵，1是4的特征方程的r 重根，则矩阵A-I的秩为n-r,从而对应特征值l恰有 个线性无关的特征向量， 定理5.4.1 设为阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使 PAP=L, 其中L是以的个特征值为对角元素的对角矩阵： 证明设的的互不相等的特征值为11,12，L,1, 它们的重数依次为，2，L,”,(+?+L+r=), 根据引理5.4.1（对称矩阵的特征值为实数）和引 理5.4.3（如上）可得：

第五章 相似矩阵与二次型 证明 根据引理5.4.1(对称矩阵的特征值为实数)和引 理5.4.3( 如上)可得：

第五章相似矩阵与二次型 对应特征值1，(i=1,2,L,s),恰有个线性无 关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得个 单位正交的特征向量.而由(y+?+L+r,=n)知， 这样的特征向量共有n个， 由引理5.4.2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这个单位特征向量两两正交， 以它们为列向量构成正交矩阵P,则 PAP=PPL=L 其中对角矩阵L的对角元素含？个1，L,r,个1、，恰 是的n个特征值

第五章 相似矩阵与二次型 由引理5.4.2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这n个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵P，则

第五章相似矩阵与二次型 二、实对称矩阵对角化的方法 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1.求A的特征值 2由(A-1,E)x=0,求出的特征向量； 3.将特征向量正交化； 4.将特征向量单位化， 5.以特征向量为列向量写出正交矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 3.将特征向量正交化; 4.将特征向量单位化. 二、实对称矩阵对角化的方法 5.以特征向量为列向量写出正交矩阵. 1.求A的特征值

第五章相似矩阵与二次型 e4 0 0ù 例1设1 ）3 013自 求正交矩阵P,使P1AP为对角形矩阵 解()第一步求A的特征值 4-1 0 0 A-1E= 3-1 1 =(2-1)(4-1)2, 0 1 3-1 得特征值11=2,12=13=4

第五章 相似矩阵与二次型 解 (1)第一步 求A的特征值

第五章相似矩阵与二次型 (2)第二步由(A-1,E)x=0,求特征值1对应的特征向量 é0ù 对1，=2(42)x=0得基础解系-含1日 仓-1 对1，=13=4，由(A-4E)x=0,得基础解系 1ù 0ù 2= x2与x3恰好正交， 0自 e1d 所以x1,x2,x3两两正交

第五章 相似矩阵与二次型