《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第二章 矩阵与向量 2-3 向量组的线性相关性

第二章矩阵与向量 S2.3 向量组的线性相关 线性相关性的概念 线性相关性的判定 三、 向量组的等价 四、向量组的最大无关组 五、向量空间的基与向量的坐标 六、小结

第二章 矩阵与向量 六、小结 二、线性相关性的判定 一、线性相关性的概念 §2.3 向量组的线性相关 性 五、向量空间的基与向量的坐标 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组

第二章矩阵与向量 、线性相关与线性无关的概念 在向量线性相关的基础上，本节来讨论向量之间的关系. 定义2.3.1对于向量口1,02，口m和口，若存在m 个数口1，口2，口m,使得： 回=日日1+0202+.+□m口m 则称口是口1，口2，口m的线性组合，口，口 ,口m称为组合系数，或称向量口能用向量组口1，口2 线性表示 ”崑然，篓荷量是任何一组向量的线性组合

第二章 矩阵与向量 一、线性相关与线性无关的概念 在向量线性相关的基础上,本节来讨论向量之间的关系. 定义2.3.1 对于向量￾ 1 ,￾ 2 ,., ￾ m 和￾ ，若存在m 个数￾ 1 ,￾ 2 ,. ,￾ m ，使得： ￾ = ￾ 1￾ 1 + ￾ 2￾ 2 + .+ ￾ m￾ m 则称￾ 是￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 的线性组合，￾ 1 ,￾ 2 ,. ,￾ m 称为组合系数,或称向量￾ 能用向量组￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m线性表示 . 显然，零向量是任何一组向量的线性组合

第二章矩阵与向量 例1设n维向量 e1=(1,0,4,0) e2=(0,1,4,0) LLLLLL em=(0,0,4,1) u=(a1,a2,4,an)是任意一个n维向量，由于 a =ae +ae2+7 +a em 所以a是e1,e2,4,en的线性组合. 运常称e1,e2,4,en为n雅单位坐标向量组. 同维数的向量所组成的集合称为向量组

第二章 矩阵与向量 同维数的向量所组成的集合称为向量组. 通常称 为n维单位坐标向量组

第二章矩阵与向量 例2证明向量1=(0,4,2)是向量u1=(1,2,3), 02=(2,3,1),13=(3,1,2)的线性组合，并将 u用u1,2,3线性表示. 解：先假定a=1a1+1242+l343,即 (0,4,2)=1,(1,2,3)+1,(2,3,1)+13(3,1,2) =(11+212+313,2l,+312+13,311+12+213) 因此 i11+21,+313=0, 1211+312+13=4, 311+12+213=2

第二章 矩阵与向量 因此 解：先假定 即

第二章矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 2 2 3 1 =-1810, 3 1 2 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 11=1,l,=1,13=-1 于是口可表示 为 a=a,+u2-u3

第二章 矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 于是￾ 可表示 为

第二章矩阵与向量 般地， 与口 293 m 必为且仅为一下三 种情 形之一： 10口可由口，口2，口m的线性表示，且表达式唯 2口对元线性方程组的线装示表裘截未知 量的系数构成的维列尚量，即 éa1yù 3如不能由山8 的线性表示 a; e4 =1,2,Ln e4ú

第二章 矩阵与向量 一般地， ￾ 与￾ 1 ,￾ 2 ,., ￾ m 必为且仅为一下三 种情 形之一： 1 0 ￾ 可由￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 的线性表示，且表达式唯 一； 2 0￾ 可由￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 的线性表示，但表达式不 唯一； 3 0￾ 不能由￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 的线性表示. 对于n元线性方程组(2-8)若以￾ j表示其中第j个未知 量的系数构成的m维列向量，即

第二章矩阵与向量 且令 éb, ú b 8 e4ú e,ú m 那么，方程组(2-8)可以表示为 xa+xa,+74+xa=b 于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为 向量口能否由向量口1，口23，口m线性表示当口 能由向量口1，口2，口线性表示且表达式唯一 时，方程组(2-8)有解且解唯一

第二章 矩阵与向量 且令 那么，方程组(2-8)可以表示为 于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为 向量￾ 能否由向量￾ 1 ,￾ 2 ,., ￾ m线性表示.当￾ 能由向量￾ 1 ,￾ 2 ,., ￾ m线性表示且表达式唯一 时,方程组(2-8)有解且解唯一

第二章矩阵与向量 定义2.3.2设n维向量组 m 如果存在不全为0的m个数k1,k2,.,km,使得 k1□1+k2□2+.+km口m=0 则称向量组口1，·2，口m线性相关，否则称它们线性 无关 注： 口1，·2，口m线性无关，就是 k1日1+k2日2+.+km日m=k1=k2=.=km=0

第二章 矩阵与向量 定义2.3.2 设n维向量组 ￾ 1 , ￾ 2 ,., ￾ m ， 如果存在不全为0 的m 个数k1，k2，. ，km，使得 k1￾ 1 + k2￾ 2 + .+ km￾ m = 0 注： ￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 线性无关,就是 k1￾ 1 + k2￾ 2 + .+ km￾ m = 0 k1 = k2 = . = km= 0 则称向量组￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 线性相关,否则称它们线性 无关

第二章矩阵与向量 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论： ()只有一个向量口的向量组线性相关的充要条件是口=O; (2)如果向量组口1，口2，口m中有某两个向量口=口切 那么向量组口1，口2，口m线性相关； (3)含有零向量的向量组必线性相关 在一个向量组口1，口2，口m中，任取若干个向量组成 向量组，叫做口1，口2，口m的部分向量组，简称部分组。 (4④)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性 相关其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个部分 组也是线性无关的

第二章 矩阵与向量 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论: (1)只有一个向量￾ 的向量组线性相关的充要条件是￾ =0; (2)如果向量组￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m中有某两个向量￾ i =￾ j (i≠j) ， 那么向量组￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m线性相关 ; (3)含有零向量的向量组必线性相关. 在一个向量组￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m中，任取若干个向量组成的 向量组，叫做￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m的部分向量组，简称部分组. (4)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性 相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个部分 组也是线性无关的

第二章矩阵与向量 例3讨论n维向量e1,e2,h,en的线性相关性。 解：设n个数k1,k2,4,kn,使得 ke+ke2+7 +k,en =0 即 (k1,k2,4,kn)=(0,0,L,0)成立， 则必有k,=0,k2=0,4,kn=0, 所以e1,e2,4,en线性无关

第二章 矩阵与向量