《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第三章 矩阵的运算 §3.1 矩阵的运算

第三章矩阵的运算 Ch3 矩阵的运算 ●§3.1矩阵的运算 ·§3.2逆矩阵 ●§3.3初等矩阵 ●§3.4分块矩阵

第三章 矩阵的运算 Ch3 矩阵的运算 §3.1矩阵的运算 §3.4分块矩阵 §3.2逆矩阵 §3.3初等矩阵

第三章矩阵的运算 §3.1 矩阵的运算 一、矩阵加法 二、矩阵的数乘 三、矩阵乘法 四、矩阵转置 。五、n阶矩阵的行列式 >六、共轭矩阵

第三章 矩阵的运算 §3.1 矩阵的运算 一、矩阵加法 四、矩阵转置 二、矩阵的数乘 三、矩阵乘法 五、n阶矩阵的行列式 六、共轭矩阵

第三章矩阵的运算 两个相关概念： 同型矩阵：行数与列数分别相等的矩阵称为同型 矩阵 矩阵相等： A=(a)mx,B=(亿)mxn,且L=b→A=B (i=1,.,;j=1,.,n) 注意：矩阵相等与矩阵等价的区别

第三章 矩阵的运算 同型矩阵：行数与列数分别相等的矩阵称为同型 矩阵. 矩阵相等: ( ) , ( ) , ( 1, , ; 1, , ) A a B b a b A B ij m n ij m n ij ij i m j n = = =  =   = = 且 两个相关概念： 注意：矩阵相等与矩阵等价的区别

第三章矩阵的运算 一、矩阵加法 定义3.1.1设矩阵A=(ag)mxn,B=(bg)mxn’称矩阵 C=(aji+bi)mxn 为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B. 注意：两个矩阵必须是同型矩阵才可以相加. 零矩阵：元素全是零的矩阵称为零矩阵，记作：O 设矩阵A=(a财)mxn’称矩阵-(a)mxn为A的负矩阵， 记作-A,即-A=-(4;)mxn:

第三章 矩阵的运算 一、矩阵加法 ( ) , ( ) ( ) 3.1.1 . ij m n ij m n ij ij m n A a B b C a b A B C A B    = = = + = + 设矩阵 ，称矩阵 和 为矩阵 与矩阵 的 ，记作 定义 零矩阵：元素全是零的矩阵称为零矩阵.记作: O. ( ) ( ) ( ) . ij m n ij m n ij m n A a a A A A a    = − − − = − 设矩阵 ，称矩阵 为 的 ， 记作 ，即 负矩阵 注意：两个矩阵必须是同型矩阵才可以相加

第三章矩阵的运算 矩阵加法的性质： A,B,C,O均为m×n矩阵 1.4+B=B+4 2.(A+B)+C=A+(B+C) 3.4+0-0+4=A 4.A+(-A)=(-A)+A=O 5.矩阵减法可定义为 A-B=A+(-B)=(aj-bij)mxn

第三章 矩阵的运算 矩阵加法的性质： A , B , C , O均为m  n矩阵 1. A + B = B + A 2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3 . A + O = O + A = A 4. A + ( − A ) = ( − A ) + A = O 5. ( ) ( ) A B A B a b − = + − = −ij ij m n 矩 阵 可 定 义 为 减 法

第三章矩阵的运算 例1求矩阵X,使得 123-1 0 -1 2 3 20 1 2 +X= 3 0 1 -11 -1 2 -2 0 解： 0 2 3 2 -1 X=3 -1 2 2 1 0 -110 -1 -1 4 -3 2 -2 1

第三章 矩阵的运算 1 1 2 3 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 1 1 2 2 0 X X     − −     + = −             − − − 例 求矩阵 ，使得 解： 0 1 2 3 1 2 3 1 3 0 1 1 2 0 1 2 1 2 2 0 1 1 0 1 X     − −     = − −             − − − 1 3 1 4 1 0 0 3 2 1 2 1   − − −   = −       −

第三章矩阵的运算 二、数与矩阵的乘法 定义3.12设矩阵A=(a)mxm, 是一个数，矩阵 (2)mxn称为数2与矩阵4的乘积，记作入A或A几， 即 元A=A2=(2g)mxm 注：数乘矩阵与数乘行列式是显然是不同的

第三章 矩阵的运算 二、数与矩阵的乘法 ( ) , , ( ) ( ) 3.1.2 ij m n ij m n ij m n A a a A A A A a A            = = = 数 设矩阵 是一个数 矩阵 称为 记作 或 ， 即 与矩阵 ， 定 的乘积 义 注：数乘矩阵与数乘行列式是显然是不同的

第三章矩阵的运算 数乘的性质： 设A,B是m×矩阵，入，u是数， 1.兄(uA)=(乙)A 2.(兄+)A=九A+uA 3.2(A+B)=九A+入B 4.1A=A 5. 0A=0 6.(-1)A=-A

第三章 矩阵的运算 数乘的性质： 2. ( )     + = + A A A 设A B m n ， 是  矩阵， , 是数， 3. ( )    A B A B + = + 1. ( ) ( )    A A = 4. 1A A = 5. 0A O= 6. ( 1) − = − A A

第三章矩阵的运算 如设4f:斗8[ c-248+ 解： 1 4-1-10+1+2-2-0+1 2A-B+ C= 32+2+44-3-2-4-1+3

第三章 矩阵的运算 2 0 1 1 1 0 2 , , 1 2 2 2 3 1 3 6 3 1 2 . 12 6 9 3 A B C A B C     − − = =         − −   − = − +     − 例 设 ,求 1 4 1 1 0 1 2 2 0 1 2 3 2 2 4 4 3 2 4 1 3 A B C   − − + + − − + − + =     + + − − − − + 2 3 1 8 1 2   − =     − − 解：

第三章矩阵的运算 三、矩阵的乘法 1.线性变换 设变量y1,2,.ym能用变量x1,X2,xn线性表示，即： Jy1=411X1+412X2+.+01nXn, y2=21X1+022x2+.+2nXn) ym=am+am2+amnn 其中系数a,(i=1,2,m,j=1,2,m)为常数这种从 变量x1,x2,.,x,到变量1,2，.y,m的变换叫做线性变换

第三章 矩阵的运算 1 2 1 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , , , , , ( 1,2, , , 1,2, , ) . , , , , , m n n n n n m m m mn n ij n m y y y x x x y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x a i m j n x x x y y y  = + ++  = + ++    = + ++  = = 设变量 能用 变量 线 性表示，即： 其中系数 为常数 这种从 变量 到变量 的变换叫做线性变换. 三、矩阵的乘法 1.线性变换