《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形

第五章相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形 二次型的概念 三 二次型的矩阵表示 二次型的标准形 四、二 次型的秩 五、小结

第五章 相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形 二、二次型的矩阵表示 三、二次型的标准形 五、小结 一、二次型的概念 四、二次型的秩

第五章相似矩阵与二次型 二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的 方程为标准形的问题我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 ax2 +2bxy cy2 d (5-9) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度0，做旋转变换 x=x'cose-y'sine, y=x'sin0+y'cose

第五章 相似矩阵与二次型 二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的 方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 2 2 ax bxy cy d + + = − 2 (5 9) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度θ，做旋转变换 cos sin , sin cos , x x y y x y      = −    = +   

第五章相似矩阵与二次型 把方程5-9)化成标准方程 a'x'2+cy"2 d (5-10) (5-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它只 含有平方项我们把该问题推广到一般情况，从而建 立起二次型理论。该理论在数学和物理中都有广泛的 应用，它是线性代数的重要内容之一其中心问题是 讨论如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化 成平方和的形式

第五章 相似矩阵与二次型 把方程(5-9)化成标准方程 2 2 a x c y d     + = − (5 10) (5-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它只 含有平方项.我们把该问题推广到一般情况，从而建 立起二次型理论。该理论在数学和物理中都有广泛的 应用，它是线性代数的重要内容之一.其中心问题是 讨论如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化 成平方和的形式

第五章相似矩阵与二次型 一、二次型的概念 定义5.5.1含有个变量x1,x2,.,xn的二次齐次多项式 f(x,x2,xn)=ax2+22x2+.+2nxx。 +a22x+.+202n2n++anmx (5-11) 称为关于x1,水2，.，x的二次型，简称二次型 当a是复数时，f称为复二次型； 当a是实数时，f称为实二次型

第五章 相似矩阵与二次型 ( ) 1 2 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 2 22 2 2 2 1 2 5.5.1 , , , , , , 2 2 2 (5 11) , , , . n n n n n n nn n n n x x x f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x x x = + + + + + + + + − 定义 含 二次 有 个变量 的二次齐次多项式 称为关于 的二次型,简称 型 , ; , . ij ij a f a f 当 是复数时 称为 当 是实数时 称 复二次型 为实二次型 一、二次型的概念

第五章相似矩阵与二次型 例如x+x,x2+3x1x3+2x+4x2水3+3x ix x,+5x2+(3+i)xx3+2xx 都为二次型；我们下面讨论的二次型均为实二次型 设由1,2.，yn到变量x1,x2,xm的线性变换为 X1=C11+C12Jy2+.+C1myn, x2 =C211+c22y2+.+c2nyn> (5-12) Xn=cmy+cn2y2+.+cnnyn

第五章 相似矩阵与二次型 例如 都为二次型；我们下面讨论的二次型均为实二次型. 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 4 3 2 4 3 5 (3 ) 2 x x x x x x x x x ix x x i x x x x + + + + + + + + + 1 2 1 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , , , , , , , (5 12) . n n n n n n n n n nn n y y y x x x x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y    = + + +   = + + +  −    = + + +  设由 到变量 的线性变换为

第五章相似矩阵与二次型 或写成为矩阵形式：X=CY 其中 X= x2 ,Y= y2 C=(Cij)nxn ●●● Xn yn 若将(5-12)式代入(5-11)式，那么得到的 关于y,y2,.,y的多项式仍为二次齐次多项式。 可见，线性变换把二次型变为二次型

第五章 相似矩阵与二次型 或写成为矩阵形式: X CY = 1 1 2 2 , ( )ij n n n n x y x y X Y C c x y              = = =               其中 ， 1 2 5 12 5 11 , , , . n y y y 若将（ − − ）式代入（ ）式，那么得到的 关于 的多项式仍为二次齐次多项式. 可见，线性变换把二次型变为二次型

第五章相似矩阵与二次型 二、二次型的矩阵表示 取射=ag则2ax,x,=ag,x,+0x,x,(i<j) 于是 f=1x7+412X1x2++41mxn +421X2X1+42X2+.+02nX2Xn aman+am =X1(a11x1+a12X2++41nxn) +x2(M21X1+422X2+.+42mXn) +.+Xn(anlX1+Ln2X2+.+AnnXn)

第五章 相似矩阵与二次型 二、二次型的矩阵表示 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n nn n f a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x = + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + +     2 ( ) ji ij ij i j ij ji i j j i 取a a a x x a = = +  ，则 x x x x a i j 于是

第五章相似矩阵与二次型 011X1+412X2+.+41nXn 021火1+022X2+.+2nm =[X13x2,.,xn] n火1+n2X2+.+ann火n」 12 L21 l22 =[X1,x2,.,Xn 七2 @m n

第五章 相似矩阵与二次型 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 [ , , , ] n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x             =             11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 [ , , , ] n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x   + + +   + + + =         + + +

第五章相似矩阵与二次型 12 XI 记 A= 2 X= X2 Xn 则二次型可记作f=XAX,其中A称为二次型的矩阵， 显然，A是对称矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , , n n n n nn n a a a x a a a x A X a a a x             = =             记 则二次型可记作 , . f X AX A =  其中 称为二次型的矩阵 显然，A是对称矩阵

第五章相似矩阵与二次型 二次型(5-11)的矩阵A的元素满足， 当i≠时，a=是二次型xx,项的系数的一半； 当i=时，an是x项的系数 在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系

第五章 相似矩阵与二次型 2 , . ij ji i j ii i A i j a a x x i j a x  = = 二次型(5-11)的矩阵 的元素满足 当 时， 是二次型 项的系数的一半； 当 时, 是 项的系数 在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型． 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．