《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）矩阵的秩及其求法

第二章第四节矩阵的秩及其求法11一、矩阵秩的概念招矩阵秩的求法-社满秩矩阵三-0

1 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 第四节 矩阵的秩及其求法 第二章 三、满秩矩阵

1矩阵的秩的概念1111/1.k阶子式1设A=定义1在A中任取k行k列交叉处元素按原相对位置组成的 k(1<k≤min (m,n)11阶行列式,称为A的一个k阶子式-1怡索111福111一一11111111-1111福酒11E1.1I11111/110211/1

2 1. k 阶子式 定义1 设 ( ) m n A aij  = 在A中任取k 行k 列交叉 k (1 k  min m,n) 阶行列式，称为A的一个k 阶子式。 处元素按原相对位置组成的 一、矩阵的秩的概念

例如5AA11矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素2-1D,所构成的二阶子式为011235为 A的一个三阶子式。64而D三01kk个k阶子式。显然矩阵A共有mxnmcn103

3 设           − − − − = 1 0 1 1 4 6 5 4 1 2 3 1 例如 A ， 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素 所构成的二阶子式为 0 1 2 1 2 − − D = 而 1 0 1 4 6 5 1 2 3 3 − D = 为 A 的一个三阶子式。 显然， mn 矩阵 A 共有 k n k cmc 个 k 阶子式

1111112. 矩阵的秩/有r阶子式不为0，任何r+1阶定义2设A=(a.mx子式(如果存在的话)全为0，称r为矩阵A的秩，1记作R(A)或秩(A)。111/11111?111111-11111111111111福1111I?1111I111111111104111111

4 2. 矩阵的秩 ( ) m n A aij  设 = ，有r 阶子式不为0，任何r+1阶 记作R(A)或秩(A)。 子式(如果存在的话)全为0 , 定义2 称r为矩阵A的秩

吉祥规定：零矩阵的秩为0.1注意：(1)如R（A)=r，则A中至少有一个r阶子式D.≠0，所有r+1阶子式为0，且更高阶子式均为 0，r是 A 中非零的子式的最高阶数1(2) 由行列式的性质,R(A)=R(A').(3) R(A) ≤m, R(A) <n, 0 <R(A) <min ( m, n }1(4)如果Anxn,且|A|±0,则R(A)=n. i反之，如R（A）=n,则A≠0.香因此，方阵A可逆的充分必要条件是R（A）=nO5R

5 规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子 式 0 , D r  所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶 子式均为 0，r 是 A 中非零的子式的最高阶数. (2) 由行列式的性质， ( ) ( ) . T R A R A = (3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } . (4) 如果 An×n , 且 A  0 , 则 R ( A ) = n . 反之，如 R ( A ) = n ,则 A  0 . 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n

二、矩阵秩的求法1?1、子式判别法(定义)。1(1243例1设B=20170为阶梯形矩阵,求R(B)。00001127，存在一个二阶子式不为0，而解±0 由于20稻11任何三阶子式全为0，则R(B) = 2.11结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数常110611

6 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。 例1 设           = 0 0 0 0 0 2 7 0 1 2 3 4 B 为阶梯形矩阵，求R(B)。 解 0 0 2 1 2 由于  ，存在一个二阶子式不为0，而 任何三阶子式全为0， 则 R(B) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数

(12(101例如0(1230B =010C=00110000001253215(123085130E=4D02010700000000R(E)=3R(D)0=2R(A)= 3 R(B)=2R(C)=3一般地也，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”非零行的行数。1111107

7           = 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 3 0 A R(A) = 3           = 0 0 0 1 1 2 B R(B) = 2 例如           = 0 0 1 0 1 0 1 1 0 C R(C) = 3 1 2 5 034 0 0 0 D     =       R D( ) = 2 2 1 2 3 5 0 8 1 5 3 0 0 0 7 2 0 0 0 0 0 E       =       R E( ) = 3 一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数

11Q1例2设求。R(A)<3如果1Aa11111a1111111111a=(a+2)(a-1)2 :=0R(A)<3解4a11a稻111111一一或α=-2a=111111福111E1111111I11111111108111

8           = a a a A 1 1 1 1 1 1 如果 R(A) 3 ,  a =1 求 a . 解  R(A) 3 a a a A 1 1 1 1 1 1 = ( 2)( 1) 0 2 = a + a − = 或 a = −2 例2 设

111111(K11例31I11K1/11A=11R1K11111E11111K11111111-3K则一R(A)=3稻711I1111111111K1一一11Al=(K+3)(K-1)(K +3)K福1111111KI11酒111111111111/091I1111

9   = K K K K A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 R ( A ) = 3 则 K = − 3 例3 ( ) 3 1 1 1 1 1 1 1 3 ( 1) ( 3) 1 1 1 1 1 1 K A K K K K K = + = − +

花2、用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵初等变换不改变矩阵的秩即A→B 则 R(A)=R(B)1说明:1.r;<>ril只改变子行列式的符号2．kri是A中对应子式的k倍。3.r+kr，是行列式运算的性质。都等价由于初等变换不改变矩阵的秩,而任一Amxn者于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为R(A)所以可以用初等变换化A为阶梯矩阵来求A的秩010

10 2、用初等变换法求矩阵的秩 定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。 即 A→ B 则 R(A) = R(B) 说明： i j 1.r  r 只改变子行列式的符号。 i 2. k r 是 A 中对应子式的 k 倍。 i j 3. r + kr 是行列式运算的性质。 由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一 Amn 都等价 于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为 R(A). 所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩