《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第二章 向量与矩阵 §2.2 向量及其线性运算

第二章矩阵与向量 §2.2 向量及其线性运算 n维向量的概念 二、n维向量的线性运算 三、向量空间与子空间 四、小结思考题

第二章 矩阵与向量 二、n 维向量的线性运算 一、n维向量的概念 四、小结 思考题 §2.2 向量及其线性运算 三、向量空间与子空间

第二章矩阵与向量 一、 n维向量概念 定义2.2.1 由n个数组成的有序数组(a1,2,·am)称为 一个n维向量. C=（41,u2,.an） 其中第i个数4（i=1,2,.,n)称为n维向量 a的第i个分量或坐标 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量

第二章 矩阵与向量 由n个数组成的有序数组(a1 , a2 , . an )称为 一个n维向量.  = ( a1 , a2 , . an ) 其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, . , n ) 称为 n 维向量  的第 i 个分量或坐标. 一、n维向量概念 定义2.2.1 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量

第二章矩阵与向量 例如，元线性方程(8)中第i1≤i≤m)个方程 M1S1+a2X2+.+0nXn=b 的系数和常数项对应着一个n+1维向量 (a13a2y.,an,b;) 而该方程的一个解x,=C,x2=C2,.,xn=Cn可用一个n 维向量(C,c2,.,cn)来表示，该方程组的解构成的n维 向量叫做该方程组的解向量 定义：两个向量x=(1,2,.n)B=(亿1，b2,.bn) 相等，记a=B台4=b:(i=1,2,n

第二章 矩阵与向量 定义：两个向量 = ( a1 , a2 , . an ),  = (b 1 , b 2 , . b n ) 相等，记  =  ai = bi ( i = 1, 2, . , n) 1 1 2 2 1 2 (8) (1 ) 1 ( , , , , ) i i in n i i i in i n i i m a x a x a x b n a a a b   + + + = + 例如， 元线性方程 中第 个方程 的系数和常数项对应着一个 维向量 1 1 2 2 1 2 , , , ( , , , ) . n n n x c x c x c n c c c n 而该方程的一个解 = = = 可用一个 维向量 来表示，该方程组的解构成的 维 向量叫做该方程组的解向量

第二章矩阵与向量 零向量 0=（0,02.,0） 负向量 对a=（12,.n)称（一a1,一2，一an) 为a的负向量.记为一a. -a=(-a1,-u2,-un) 行向量 a=（a1,2),am) 01 2 列向量 = =(41,2.,0n)

第二章 矩阵与向量 零向量 0 = ( 0, 0, . , 0 ) 负向量 对  = ( a1 , a2 , . an ) 称 ( －a1 , －a2 , ., －an ) 为 的负向量.记为－ . － = (－a1 , －a2 , ., －an ) 行向量  = ( a1 , a2 , ., an ) 列向量 1 2 1 2 ( , , , )T n n a a a a a a        = =      

第二章矩阵与向量 二、n维向量的线性运算 定义2.2.2设a=(1,2,an),B=(b1b22,bm) 都是n维向量，向量(1+b1,a2+b2,n+bn)称为 向量a与的和，记作aB,即 a+B=(01+b1,a2+b2,an+bn) 由负向量即可定义向量的减法： a-B=a+(-B)=(a1-b1,.,an-bn)

第二章 矩阵与向量 定义2.2.2 设 = ( a1 , a2 , ., an )，  = (b 1 , b 2 , ., b n ) 都是n维向量，向量( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn )称为 向量与的和，记作+，即  +  = ( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn ) 二、n 维向量的线性运算  － =  + (－ ) =( a1 － b1 , ., an － bn ) 由负向量即可定义向量的减法：

第二章矩阵与向量 定义2.2.3设a=(1,2,an),2是实数，定义 入a=(九a1,九2，九an) 称为数2与向量a的乘积，记作2a,简称为数乘， 数2与向量a的乘积的性质有： (1)00=0(2)(-1)a=-a(3)20=0 (4)如果2≠0，a≠0，那么几a≠0. 向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算

第二章 矩阵与向量  = (  a1 ,  a2 , .,  an ) 称为数与向量的乘积，记作 ，简称为数乘. 设 = ( a1 , a2 , ., an 定义2.2.3 )， 是实数，定义 向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算. 数与向量的乘积的性质有: (1) 0 (2) ( ) (3) 0 0 (4) 0 0.        = = − =    ０ -１ 如果 ０， ，那么

第二章矩阵与向量 向量的线性运算满足八条运算律 设a、B、y是n维向量，0是n维零向量， k、1是任意实数。 (1)a+B=B+a (2) (a+B)+y=a+(B+y) 3) a+0=a (4) a+(-a）=0

第二章 矩阵与向量 向量的线性运算满足八条运算律 (1)  +  ＝  +  (2) ( +  ) +  ＝  + (  +  ) (3)  + 0 ＝  (4)  + (－ ) ＝ 0 设  、 、 是 n 维向量，0 是 n 维零向量， k、 l 是任意实数

第二章矩阵与向量 (⑤)k(a+B)=ka+k (6)(k+1)a=ka+la (7)(k1)a=k(la) (8) 1a=a

第二章 矩阵与向量 (5) k ( +  ) ＝ k + k (6) ( k + l )  = k + l (7) ( k l )  = k ( l ) (8) 1· = 

第二章矩阵与向量 例1设=(1,3，-2,2)，B=(5,1,-2,0),若 已知+2=3B,求向量y. 解：由a+2=3B得 y=23f-0=21153,6,0)-(13,-2,21 =714,0,-4-2) =(7,0,-2,-1 5 3 -1 -7 例2已知向量a1= 3 ,3a1-402= 17 求向量2a1+32: 2 -2 4 8

第二章 矩阵与向量 例1 设 =(1，3，-2，2) ,  = ( 5，1，-2，0 )，若 已知 +2=3，求向量 . 解:由 +2=3得 1 (3 ) 2   = − a 1 [(15,3, 6,0) (1,3, 2,2)] 2 = − − − 1 (14,0, 4, 2) 2 = − − = − − (7,0, 2, 1) 1 1 2 1 2 5 3 1 7 2 3 4 2 3 . 3 17 2 2 4 8              − −     = − = +         −             例 已知向量 ， ，求向量

第二章矩阵与向量 3 -7 解：由 3a1-4a2= 17 -2 8 得 5 3 12 3 -1 4 1 02 (3 3 172 1-4 -8 = -2 2 8 2 4 8 4 1

第二章 矩阵与向量 1 2 3 7 3 4 17 2 8       −   − =     −      解：由 2 5 3 1 7 1 (3 ) 3 17 4 2 2 4 8          − −     = −         −             得 12 3 4 1 1 8 2 4 8 2 4 1             = =     − −                