《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第一章 行列式_1.1行列式的概念

第一章n阶行列式 本章主要从以下4个方面对行列式展开 讨论： 1.行列式的概念 2.行列式的性质 3.行列式的计算 4.克拉默法则

第一章 n阶行列式 本章主要从以下4个方面对行列式展开 讨论： 1.行列式的概念 2.行列式的性质 3.行列式的计算 4.克拉默法则

第一节n阶行列式的概念 一、行列式的引入 用消元法解二元线性方程组 411+412X2=b1, (1) 021X1+022X2=b2· (2) ()×2:414221+2422=b422, (2)×42:412421+420223=b2412, 两式相减消去x,得

第一节 n阶行列式的概念 一、行列式的引入 用消元法解二元线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 , (1) . (2) a x a x b a x a x b  + =   + = (1) : a22 , a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 (2) : a12 , a12a21x1 + a12a22 x2 = b2a12 两式相减消去 x2，得

(411422-412421）1=b1422-412b2; 类似地，消去x,得 （411422-412421）X2=41b2-b421, 当a1422-41241≠0时，方程组的解为 七=Ag-4,5=4b-0 1122-L12L21 C411L22一012L2d 由方程组的四个系数确定

; （a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 类似地，消去x1，得 , （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 当 a11a22 − a12a21  0时， 方程组的解为 ， 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 2 1 21 2 11 22 12 21 . a b b a x a a a a − = − 由方程组的四个系数确定

定义引入记号： 2 021 L22 称之为二阶行列式，它表式数值41422-41242 即 D 411 2 =411422-412421 L21 L22 行列式中横排的叫作行，纵排的叫作列，(i,广=1,2) 称为行列式的元素，为行标，为列标

定义 11 12 21 22 11 22 12 21 a a a a a a a a − 引入记号： 称之为二阶行列式，它表式数值 ， 即 . 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D = = − 行列式中横排的叫作行，纵排的叫作列， ( , 1, 2) ij a i j = 称为行列式的元素，i为行标，j为列标

二阶行列式的计算一对角线法则 主对角线 11 L12 =%11022-%12021 次对角线 021 22 对于二元线性方程组 %11七1+4122=b1, 21x1+22x2=b2 若记 L11 412 L21 系数行列式 22

a21 11 a 12 a a22 主对角线 次对角线 对角线法则 11 22 = a a . 12 21 − a a 二阶行列式的计算 若记 , 21 22 11 12 a a a a D =    + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 对于二元线性方程组 系数行列式

411X1+412x2 4211+422X2 D b 22 →D= b D 12 b2 =b02z-412b2, L22

   + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b , 21 22 11 12 a a a a D = , 2 22 1 12 1 b a b a D = 1 12 1 1 22 12 2 2 22 , b a D b a a b b a = = −

则二元线性方程组的解为 2 11 D 22 X1= 421 D 1 2 X2= D2 D 411 12 L21 l22 L21 L22 注意 分母都为原方程组的系数行列式

则二元线性方程组的解为 , 21 22 11 12 2 22 1 12 1 1 a a a a b a b a D D x = = 注意 分母都为原方程组的系数行列式. . 21 22 11 12 21 2 11 1 2 2 a a a a a b a b D D x = =

类似地， 411七1+412X2+413X3=b, 由三元线性方程组 21X1+22X2+0233=b2, 031X1+032X2+433X3=b3; 引入记号 11 l12 3 L21 2 031 32 33 称之为三阶行列式.它表式数值

引入记号 称之为三阶行列式.它表式数值 由三元线性方程组 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 , , ; a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + =   + + =   + + = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 类似地

三阶行列式计算-对角线法则 =411422433+412023031+413L2132 -413L2231-122133-M11L23432. 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号. 说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式

31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 11 22 33 = a a a . 11 23 32 − a a a 三阶行列式计算-对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 13 21 32 + a a a 12 23 31 + a a a 13 22 31 − a a a 12 21 33 − a a a

2.三阶行列式包括3！项，每一项都是位于不同行 不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为 负 利用三阶行列式求解三元线性方程组 01X1+412X2+4133=b1, 如果三元线性方程组 {a211+422x2+233=b2, 031X1+032x2+a33X3=b3; 011 12 13 的系数行列式 D= 021 L22 L23 ≠0， 431 L32 L33

如果三元线性方程组      + + = + + = + + = ; , , 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 的系数行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D =  0, 利用三阶行列式求解三元线性方程组 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负