《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5.5 二次型及其标准形_5.5 二次型及其标准形

线性代数第一章 S5.5 二次型及其标准形 一、二次型的概念 二、二次型的矩阵表示 三、二次型的标准形 四、二次型的秩 上页 下页儿 返回 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 §5.5 二次型及其标准形 二、二次型的矩阵表示 三、二次型的标准形 一、二次型的概念 四、二次型的秩 上页 下页 返回

线性代数第五章 二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的 方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 ax2 +2bxy cy2 =d (*) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度0，做旋转变换 ix=xccosq-yesing, iy=xesing +yecosq, 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 ￾￾￾￾￾￾￾￾二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的 方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 ￾￾￾￾￾￾￾为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度θ，做旋转变换￾￾

线性代数第五章 把方程(*)化成标准方程 axe +cge =d 我们把该问题推广到一般情况，从而建立起二 次型理论。该理论在数学和物理中都有广泛的 应用，它是线性代数的重要内容之一其中心问题 是讨论如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变 换转化成平方和的形式. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 把方程(*)化成标准方程 我们把该问题推广到一般情况，从而建立起二 次型理论。该理论在数学和物理中都有广泛的 应用，它是线性代数的重要内容之一.其中心问题 是讨论如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变 换转化成平方和的形式

线性代数第五章 一、二次型的概念 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 一、二次型的概念

线性代数第五章 例如 f=x+x62+3xx3+2x号+4x2水+3x号 =ixx2+5x+(3+i)xx3+2xx 都为二次型； 本章我们讨论的二次型均为实二次型. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 例如 都为二次型； 本章我们讨论的二次型均为实二次型

线性代数第五章 二、二次型的矩阵表示 取ai=aj,则2a,x,=ax,x;+ax,x,(i<j) 于是f=a1x+a22+L+a1wXxm +azx2x+azzx2++aznx2x +L amanamxi =x1(a1k1+a12x2+L+41nXn) +x2(a21X1+2x2+L+42mXn) +L +x (anx+an2x2+L+amx) 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 二、二次型的矩阵表示 于是

线性代数第五章 a1X1+412X2+L+41nxnù =c,Lx,l8+aa+L+a8 e e M ú e ú a1S1+4n2X2+L+anx éu11 412 422 L úei =x1,X2,L,xn】 a2miè2i eL L L L ue Mi úei ě0ni an2 L Lmiěxni 版权所有：山东理工大学理学院

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线性代数第五章 u11 412 L ex1 e ú ú L 记 A= 422 a2nú eL L L X= L e Mu ú eú ě0nl an2 L ěxni 则二次型可记作f=XX,其中A称为二次型的矩阵 显然，A是对称矩阵， 二次型一® 对称矩阵 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 显然，A是对称矩阵. 二次型 对称矩阵

线性代数第五章 el 0 0ù A 3 2 5S 0 -2 版权所有：山东理工大学理学院

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线性代数第五章 设由y1,2,4,yn到变量x1,心2,4，x的线性变换为 】x1=C1乃1+C2Jy2+4+C1mJyn, x2=c21y+c222+c2nyn i 444h44 xn=Cmy+Cn2y2++Cmyn" 或写成为矩阵形式：X=CY ex1ù éy1ù e.ú e.ú 其中 X= i Y= e⅓ú =(Cg)n e4ú eú eú ěxni eynù 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 或写成为矩阵形式: