《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第二章 矩阵与向量_2.4 矩阵的秩_2.4 矩阵的秩

线性代数第二章 §2.4矩阵的秩 一、矩阵的行（列秩、秩 二、 矩阵秩的求法 三、向量组的秩、最大无关组的求法 四、k阶子式 五、小结 上页 下页 儿返回 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 §2.4 矩阵的秩 一、 矩阵的行(列)秩、秩 二、 矩阵秩的求法 三、向量组的秩、最大无关组 的求法 四、 k 阶子式 五、小结 上页 下页 返回

线性代数第二章 一、矩阵的行（列秩、秩 定义2.4.1设m×n矩阵A,称A的行向量组的秩为矩阵A的行 秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩 é101ù 例1求矩阵4=0【2的行扶和列铁 214日 解：A的行向量a1=(1,0,1),M,=(0,1,2),43=(2,1,4) 101 由行列式012=0，知向量组a1,a2,a3线性相关， 214 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 定义2.4.1 设m×n矩阵A，称A 的行向量组的秩为矩阵A的行 秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 一、矩阵的行(列)秩、秩 解：

线性代数第二章 又a1,a,线性无关，故a1,a,是A的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵A的行秩等于2， 同样方法可以求出A的列秩等于2. é1131ù 例2求矩阵A=02-14的行秩和列秩. 0005H 解：A的行向量a1=(1,1,3,1),a2=(0,2,-1,4), a3=(0,0,0,5). 去掉第三个分量，得 a=(1,1,1),a=(0,2,4),a=(0,0,5). 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 同样方法可以求出A的列秩等于2. 解：

线性代数第二章 111 由行列式024=1010，知向量组a6aa线性无关. 005 无关组添加 则向量组a1,2,43也线性无关， 分量仍无关 所以A的行秩为3. 1ù 1ù é3ù 1ù 4的列向量如b, b2 eú e2ú b3= 8 b4= 0 0H ®0日 5ǘ 4个三维向量必线性相关，而其中P1,P2,B,线性无关， 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 4个三维向量必线性相关，而其中β1，β2，β4线性无关， 无关组添加 分量仍无关

线性代数第二章 因为 10 1 2 0 =1010 1 4 5 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的， 为了证明这一点，我们有以下两个定理 定理2.4.1初等行（列）变换不改变矩阵的行（列秩 证明：此处只就第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩证明之，其余两种课下自己来完成。 版权所有山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 因为 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理. 定理2.4.1 初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩. 证明： 此处只就第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩证明之，其余两种课下自己来完成

线性代数第二章 设m'n矩阵A的行向量组a1,a2,L,4m,且 ù A= 专 4 i ú +ka i h ú5 B <O< aj ú SSS ú eee 4 ú i 版权所有：山东理工大学理学院

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线性代数第二章 由 LLL a;=(a;+ka)-kaj LLL am -am 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示， 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示. 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同

线性代数第二章 定理2.4.1亦可作为初等变换不改变线性方程组中 独立方程的个数的理论依据 定理2.4.2初等行（列变换不改变矩阵列（行）向量间的 线性关系. é113 0ù 例3设矩阵A=) 0215其列向量 6024 a1,2,43,4间有线性关系：a4=u1+2a2-a3) 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到. 验证B的列向量b1,b2,b3,b,间也有线性关系 b4=b1+2b2-b3 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 定理2.4.1亦可作为初等变换不改变线性方程组中 独立方程的个数的理论依据 定理2.4.2 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量间的 线性关系

线性代数第二章 解：对矩阵A作初等行变换如下： el 1 3 0ù el 1 3 0ù 53-61 5+32 2 -1 2 -1 5 ú A ú 0 -6 -16 4日 0 0 -19 19 31 el 1 3 0ù el 1 03ù r-3r31 2 -1 2 0 ú +3 ú 0 0 1 -1 0 01 -1ǘ 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 解：对矩阵A作初等行变换如下 ：

线性代数第二章 51é1 10 3ù el 00 1ù 10 之上 1 0 =B 2' 0 01 -11 001-1ǘ 容易看出，B的列向量b1,b2,b3,b,间也有 线性关系b4=b,+2b2-b3 实际上，如果把以上每作一次初等行变换所得到的 矩阵叫做B的话，B的列向量间同样存在上述线性关系。 推论初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）秩 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 实际上，如果把以上每作一次初等行变换所得到的 矩阵叫做B的话，B的列向量间同样存在上述线性关系. 推论 初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩