《线性代数》课程教学资源（讲稿，C）可逆矩阵习题课

可这地习题 闲出背 可逆矩阵习题课 周世祥 内大机 shixiangbupt@qq.com 线性代数课件，20181002

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可逆矩阵习题课 可议矩阵习题 可出样 ☐矩阵运算 把特运址 ■矩阵运算性质 球用世年 议东件 4计过 2逆矩阵 ■逆矩阵定义 参与文机 ■逆矩阵的计算 ■ 关于逆矩阵的性质 ■信息加密编码 3参考文献

➀❴Ý✡❙❑ ➅ ➧➢➀ Ý✡✩➂ Ý✡✩➂✺➓ ❴Ý✡ ❴Ý✡➼➶ ❴Ý✡✛❖➂ ✬✉❴Ý✡✛✺➓ ✫❊❭➋❄è ë⑧➞③ ➀❴Ý✡❙❑➅ 1 Ý✡✩➂ Ý✡✩➂✺➓ 2 ❴Ý✡ ❴Ý✡➼➶ ❴Ý✡✛❖➂ ✬✉❴Ý✡✛✺➓ ✫❊❭➋❄è 3 ë⑧➞③

典型例题 熟悉矩阵的运算律 可议矩侍习题 河型打 地件地兰 设A,B为n阶方阵，且A2=A,B2=B,(A-B)2=A+B,证 的下斗位结 明：AB=BA=O 达年株 专上机

➀❴Ý✡❙❑ ➅ ➧➢➀ Ý✡✩➂ Ý✡✩➂✺➓ ❴Ý✡ ❴Ý✡➼➶ ❴Ý✡✛❖➂ ✬✉❴Ý✡✛✺➓ ✫❊❭➋❄è ë⑧➞③ ❀✳⑦❑ Ù●Ý✡✛✩➂➷ ✗A, B➃n✣➄✡,❹A2 = A,B2 = B,(A − B) 2 = A + B,② ➨➭AB = BA = O ❞➤⑧ (A−B) 2 = (A−B)(A−B) = A2−AB−BA+B2 = A+B, ✚AB = −BA; ❺➛A,A2B = −ABA,A2B = AB = −ABA; ♠➛A,ABA = −BA2 ,ABA = −BA2 = −BA; ↕➧➜AB = BA; ♥Ü➜AB = BA = O

典型例题 熟悉矩阵的运算律 可议矩待习因 课 可出样 把特远其 设A,B为n阶方阵，且A2=A,B2=B,(A-B)2=A+B,证 矩弄总其效精 明：AB=BA=O 议斯珠 兰式 兰址4中票 ■由已知 于地出 (A-B)2=(A-B)(A-B)=A2-AB-BA+B2=A+B, 参与无机 得AB=-BA

➀❴Ý✡❙❑ ➅ ➧➢➀ Ý✡✩➂ Ý✡✩➂✺➓ ❴Ý✡ ❴Ý✡➼➶ ❴Ý✡✛❖➂ ✬✉❴Ý✡✛✺➓ ✫❊❭➋❄è ë⑧➞③ ❀✳⑦❑ Ù●Ý✡✛✩➂➷ ✗A, B➃n✣➄✡,❹A2 = A,B2 = B,(A − B) 2 = A + B,② ➨➭AB = BA = O ❞➤⑧ (A−B) 2 = (A−B)(A−B) = A2−AB−BA+B2 = A+B, ✚AB = −BA; ❺➛A,A2B = −ABA,A2B = AB = −ABA; ♠➛A,ABA = −BA2 ,ABA = −BA2 = −BA; ↕➧➜AB = BA; ♥Ü➜AB = BA = O

典型例题 熟悉矩阵的运算律 可议矩片习因 河型打 地件运丝 设A,B为n阶方阵，且A2=A,B2=B,(A-B)2=A+B,证 的年题其丝结 明：AB=BA=O 这充株 圈由已知 (A-B)2=(A-B)(A-B)=A2-AB-BA+B2=A+B, 公专民机 得AB=-BA; ■左乘A,A2B=-ABA,A2B=AB=-ABA:

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典型例题 熟悉矩阵的运算律 可议矩待习题 课 网出可 把特远其 设A,B为n阶方阵，且A2=A,B2=B,(A-B)2=A+B,证 矩弄总其丝塘 明：AB=BA=O 议斯珠 是地计过 ■由已知 于型作 (A-B)2=(A-B)(A-B)=A2-AB-BA+B2=A+B, 参与无机 得AB=-BA: ■左乘A,A2B=-ABA,A2B=AB=-ABA ■右乘A,ABA=-BA2,ABA=-BA2=-BA

➀❴Ý✡❙❑ ➅ ➧➢➀ Ý✡✩➂ Ý✡✩➂✺➓ ❴Ý✡ ❴Ý✡➼➶ ❴Ý✡✛❖➂ ✬✉❴Ý✡✛✺➓ ✫❊❭➋❄è ë⑧➞③ ❀✳⑦❑ Ù●Ý✡✛✩➂➷ ✗A, B➃n✣➄✡,❹A2 = A,B2 = B,(A − B) 2 = A + B,② ➨➭AB = BA = O ❞➤⑧ (A−B) 2 = (A−B)(A−B) = A2−AB−BA+B2 = A+B, ✚AB = −BA; ❺➛A,A2B = −ABA,A2B = AB = −ABA; ♠➛A,ABA = −BA2 ,ABA = −BA2 = −BA; ↕➧➜AB = BA; ♥Ü➜AB = BA = O

典型例题 熟悉矩阵的运算律 可议矩待习题 河型打 地件追兰 设A,B为n阶方阵，且A2=A,B2=B,(A-B)2=A+B,证 的下丝结 明：AB=BA=O 这充株 n时 圈由已知 于记四性时 (A-B)2=(A-B)(A-B)=A2-AB-BA+B2=A+B, 专民机 得AB=-BA; ■左乘A,A2B=-ABA,A2B=AB=-ABA ■右乘A,ABA=-BA2,ABA=-BA2=-BA ■所以，AB=BA;

➀❴Ý✡❙❑ ➅ ➧➢➀ Ý✡✩➂ Ý✡✩➂✺➓ ❴Ý✡ ❴Ý✡➼➶ ❴Ý✡✛❖➂ ✬✉❴Ý✡✛✺➓ ✫❊❭➋❄è ë⑧➞③ ❀✳⑦❑ Ù●Ý✡✛✩➂➷ ✗A, B➃n✣➄✡,❹A2 = A,B2 = B,(A − B) 2 = A + B,② ➨➭AB = BA = O ❞➤⑧ (A−B) 2 = (A−B)(A−B) = A2−AB−BA+B2 = A+B, ✚AB = −BA; ❺➛A,A2B = −ABA,A2B = AB = −ABA; ♠➛A,ABA = −BA2 ,ABA = −BA2 = −BA; ↕➧➜AB = BA; ♥Ü➜AB = BA = O

典型例题 熟悉矩阵的运算律 可议矩待习因 网出样 把特运其 设A,B为n阶方阵，且A2=A,B2=B,(A-B)2=A+B,证 丝得总耳社填 明：AB=BA=O 议斯珠 4计进 ■由已知 于些 (A-B)2=(A-B)(A-B)=A2-AB-BA+B2=A+B, 参与艾银 得AB=-BA; ■左乘A,A2B=-ABA,A2B=AB=-ABA ■右乘A,ABA=-BA2,ABA=-BA2=-BA ■所以，AB=BA ■综合，AB=BA=O

➀❴Ý✡❙❑ ➅ ➧➢➀ Ý✡✩➂ Ý✡✩➂✺➓ ❴Ý✡ ❴Ý✡➼➶ ❴Ý✡✛❖➂ ✬✉❴Ý✡✛✺➓ ✫❊❭➋❄è ë⑧➞③ ❀✳⑦❑ Ù●Ý✡✛✩➂➷ ✗A, B➃n✣➄✡,❹A2 = A,B2 = B,(A − B) 2 = A + B,② ➨➭AB = BA = O ❞➤⑧ (A−B) 2 = (A−B)(A−B) = A2−AB−BA+B2 = A+B, ✚AB = −BA; ❺➛A,A2B = −ABA,A2B = AB = −ABA; ♠➛A,ABA = −BA2 ,ABA = −BA2 = −BA; ↕➧➜AB = BA; ♥Ü➜AB = BA = O

逆矩阵定义 可逆矩片习题 河型打 处件追 作可W 对于n阶方阵A,如果存在n阶矩阵B,使得 这充株 之址年以 AB=BA=E 计送 专上机 成立，则称矩阵A时可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵

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逆矩阵定义 可议矩待习因 可出样 把特运其 样角世年 对于n阶方阵A,如果存在n阶矩阵B,使得 这东体 速矩裤发汉 AB=BA=E 址计 于型W 参与无机 成立，则称矩阵A时可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。 国首先，注意到只有方阵才存在可逆矩阵

➀❴Ý✡❙❑ ➅ ➧➢➀ Ý✡✩➂ Ý✡✩➂✺➓ ❴Ý✡ ❴Ý✡➼➶ ❴Ý✡✛❖➂ ✬✉❴Ý✡✛✺➓ ✫❊❭➋❄è ë⑧➞③ ❴Ý✡➼➶ é✉n✣➄✡A➜❳❏⑧✸n✣Ý✡B➜➛✚ AB = BA = E ↕á➜❑→Ý✡A➒➀❴✛➜➾rÝ✡B→➃A✛❴Ý✡✧ 1 ➘❦➜✺➾✔➄❦➄✡â⑧✸➀❴Ý✡✧ 2 ➀②➨❴Ý✡➫➁➌✛➜P❾B = A−1 . 3 A✛❴⑧✸✛➾❻❫❻➫ |A| 6= 0