《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章 不定积分_4-1 不定积分的概念与性质

第一节 第四章 不定积分的橇念与性质 一、 原函数与不定积分的概念 二 、 基本积分表 三、不定积分的性质

二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 不定积分的概念与性质 第四章

一、 原函数与不定积分的概念 定义1，若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x) 满足F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(w为fx 在区间1上的一个原函数 例 (sinx)'=cosx sinx是cosx的一个原函数 a或- (x>0) lnx是二在区间(0，+o)内的一个原函数 X l1n(-x)是二在区间(-o,0)内的一个原函数

一、 原函数与不定积分的概念 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 例 (sin ) cos x x  = ( ) 1 ln ( 0)  x x =  x sin cos . x x 是 的一个原函数 1 ln (0, ) . x是 在区间 + 内的一个原函数 x 1 ln( ) ( ,0) . x x − − 是 在区间 内的一个原函数

问题： 1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？ 2.若原函数存在，它如何表示？ 定理1.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上 存在原函数 简单地说：连续函数一定有原函数。 定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有 原函数都在函数族F(x)+C(C为任意常数)内

问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . 简单地说: 连续函数一定有原函数。 定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内

定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有 原函数都在函数族F(x)+C(C为任意常数)内 证：1)(F(x)+C)'=F'(x)=f(x) .F(x)+C是f(x)的原函数 2)设①(x)是f(x)的任一原函数，即 Φ'(x)=f(x) 又知 F'(x)=f(x) [Φ(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 Φ(x)=F(x)+C。(C,为某个常数) 它属于函数族F(x)+C

定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知  [ ( x ) − F ( x )] =  ( x ) − F ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 故 0  ( x ) = F ( x ) + C ( ) C 0 为某个常数 它属于函数族 F ( x ) + C . 即

定义2.f(x)在区间1上的原函数全体称为f(x)在1 上的不定积分，记作f(x)dx,其中 ∫一 积分号； f(x)一被积函数； (P185 积分变量；f(x)dx一被积表达式 若F'(x)=f(x),则 ∫f(x)dr=F(x)+C(C为任意常数) 例如， [e*dx=e*+C C称为积分常数， [x2dx=x3+C 不可丢！ sin xdx=-cos x+C

定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 积分变量; — 被积表达式. (P185) 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数, 不可丢 ! 例如, =  x x e d C x e + =  x dx 2 x + C 3 3 1 =  sin xdx − c o s x + C 记作

不定积分的几何意义： f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 f(x)dx的图形一 f(x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族

不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 f ( x) dx  的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. y O x0 x 的积分曲线

例1.设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程 解 ,y'=2x .y=∫2xde=x2+C 所求曲线过点(1,2)，故有 2=12+C .C=1 因此所求曲线为y=x2+1

例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 (1, 2) , 故有 因此所求曲线为 1 2 y = x + y x (1,2) O

从不定积分定义可知 =)或alfrod]=fes (2) [F(x)dx=F(x)+C dF(x)=F(x)+C 二、 基本积分表P188 利用逆向思维 () kdx=kx+C (k为常数) (2)∫x“dx=+x1+C (4≠-1) x<0时 ③∫x=mx+C (lnx'=[ln(-x)]'=

 d x d (1)  f ( x)d x  = f ( x ) 二、 基本积分表 (P188) 从不定积分定义可知: d   或 f ( x)dx  = f ( x ) d x x = + C  (2) F ( x ) d F ( x) 或 = + C  d F ( x) F ( x) 利用逆向思维 =  (1) kdx k x + C ( k 为常数) =  (2) x dx  x + C + + 1 1 1   =  x d x (3) ln x + C x  0时 (  − 1) ( l n x ) = [ ln (− x ) ] x 1 =

dx (4 arctan x+C 或 -arc cotx+C dx (5) arcsin x C 或 -arccos x+C 1-x (6) cos xdx sin x+C (7) sin xdx=-cos x+C (8) dx (9)

= +  2 1 d ( 4 ) xx a r c t a n x + C =  ( 6 ) cos x d x s in x + C =  x x2 cosd ( 8 ) =  sec x d x 2 t a n x + C 或 − a r c c o t x + C = −  2 1 d ( 5 ) x x a r c s i n x + C 或 − a r c c o s x + C =  ( 7 ) sin x d x − c o s x + C =  x x2 sind ( 9 ) =  csc x d x 2 − c o t x + C

(10) secx tan xdx sec x C 11) cscxcot xdx =-csc x+C (12) [e*dx=e*+C （13) [a'dx=

=  (1 0) sec x tan xdx s e c x + C =  (1 1) csc x cot xdx − c s c x + C =  x x (1 2) e d C x e + =  a x x (1 3) d C a a x + ln