《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章 导数与微分_2-5 函数的微分

第五为 离教的微分 一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用

二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 第五节 一、微分的概念 函数的微分

一、微分的概念 引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其 边长由xo变到x,口口x,问此薄片面积改变了多少？ 设薄片边长为x,面积为A,则A口x2,当x在xo取 得增量口x时，面积的增量为 4☐(600x)20x,2 xo 口2x,☐x□(0x)月 关于△x的 国x口 0时为 A口x 线性主部 高阶无穷小 故 04☐2x□x 称为函数在xo的微分

一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时, 边长由 变到 其

定义：若函数y口f(x)在点x。的增量可表示为 口y□f(x,□Dx)□f(xo)OA回x☐o(Ox) (A为不依赖于△x的常数) 则称函数y口f(x)在点x,可微，而A☐x称为f(x)在 点x的微分，记作dy或df,即 dy A 定理：函数y口f(x)在点xo可微的充要条件是 y□f(x)在点x。处可导，且A口fx),即 dy口fCko)Bx

的微分, 定义: 若函数 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 而 称为 记作 即 定理: 函数 在点 可微的充要条件是 即 在点 可微

定理：函数y口f(x)在点x,可微的充要条件是 y口f(x)在点x处可导，且A口fxo),即 dy fo) 证：“必要性” 已知y口f(x)在点x可微，则 口y口f(x,口Cx)口f(x,)□A☐xo(x) lim lim ( Ox00☐x□x00 Cr 故y口f(x)在点x,可导，且fo)口A

定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即

定理：函数y口f(x)在点xo可微的充要条件是 y口f(x)在点xo处可导，且A口fx),即 dy f) “充分性”已知y口f(x)在点xo可导，则 lim 口f) OxO0☐x 口f0g)0口 (lim0口0) 口x Ox▣0 故 口yDfo)□x口□□x口fCx,)□x0o(0x) fk)口0时 即dy Ofo)□x 此项为☐y的 线性主部

定理 : 函数 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 “充分性” 已知 即 在点 可导, 则

说明：口y口fx)☐x口o(口x) dy口f☑o)0x 当fx。)□0时， lim y lim d f) 1 lim y 01 f(p) 所以☐x口0时Oy与dy是等价无穷小，故当☐x 很小时，有近似公式 Oy口dy

说明: 时 , 所以 时 很小时, 有近似公式 与 是等价无穷小, 当 故当

微分的几何意义一 切线纵坐标的增量 dy口fxo)☐x▣tan▣☐x dy y▣f(x 当□x很小时，□y☐dy 当y口x时， yx 0 称☐x为自变量的微分，记作dx 则有 dy▣f)dx 微分的计算公式 从而 Of() 导数也叫作微商 dx

微分的几何意义 当 很小时, 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分, 记作 记 微分的计算公式

例如， dy▣ dx 1▣x 又如， dy x口2 O3x2[dx x口2 ☐0.24 dx☐0.02 dx☐0.02 基本初等函数的微分公式（见P113114表）

又如, 基本初等函数的微分公式 (见 P113-114表) 例如

二、微分运算法则 设(x),vx)均可微，则 1.d(u☐v)☐du☐d 2.d(Cu)☐Cdu (C为常数) 3.d(v)☐vu☐ud d的e迪 5.复合函数的微分 y口f(u),u☐☐(x)分别可微， 则复合函数y口[口(x)]的微分为 dy口yx口fG)Ox)dx du dy☐fu)h 微分形式不变

二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数

例1.yoln(1口ex),求dy d(1 解：dy口1 0 zexd(x2) l☐e 2 °2xd

例1. 求 解 :