《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第四章 不定积分_4-3 分部积分法

第三节 第四章 分部积分法 由导数公式 (w)☐卫u☐v 积分得 w口☑x口2yd vdx uv口☑d dvvdn∫ 分部积分公式 或 选取u及v☑或dv)的原则 1)v容易求得， 2)adx比avdx容易计算

第三节 由导数公式 积分得: 分部积分公式 或 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 分部积分法 第四章

例1.求cos xdx 解：令uUx,v☐Cosx, 则u力1，v□sinx .原式 ☐xsinx▣sinxdx ☐xsin x☐cosx☐C 思考：如何求区sinxdx? 提示：令u口x2,v中sinx,则 原式口□cosx□2 cos xdx 11

例1. 求 解: 令 则 ∴ 原式 思考: 如何求 提示: 令 则 原式

例2.求Inxdx. 解：令u□nx,v中x 则 原式=产nx xC

例2. 求 解: 令 则 原式 =

例3.求arctanxdx 解：令u☐arctanx,v☐x 则 v0x2 原式 arctanx☐ arctanx▣ )dx 1x arctanx☐-(x☐arctan x)☐C

例3. 求 解: 令 则 ∴ 原式

例4.求g'sinxdx 解：令u□sinx,v①ex,则 u卫cosx,v□ex .,原式口e*sinx☐g'cos xdx 再令u Ucosx,v卫e",则 u▣□sinx,v☐e ☐e'sinx☐e'cosx▣e'sinxdx 故原式=e'(sinx☐cosx)☐C 说明：也可设u口e,v[为三角函数，但两次所设类型 必须一致

例4. 求 解: 令 , 则 ∴ 原式 再令 , 则 故 原式 = 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致

解题技巧：选取u及v的一般方法： 把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂指三”的 顺序，前者为4后者为v 反：反三角函数 对：对数函数 例5.求arccos xdx 幂：幂函数 解：令uL凵arccos x,v□l,则 指：指数函数 三：三角函数 1 vx 原式=xarccosx xarccos x□号□x2)d☐2) Lxarccos x[☐V1☐x2aC

解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 后者为 例5. 求 解: 令 , 则 原式 = 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数

例6.求 Incosx dx. Cos x 解：令u□Incosx,.vD 则 Cosx u☐□tanx,v▣tanx 原式=tanx [cosx口tan2xd ☐tanx [Incos,x口G$eex□l)d ☐tan x In cosx☐tanx☐x☐C

例6. 求 解 : 令 , 则 原式 =

例7.求Edr 解：令x□t,则x☐t2,dx□2tdi 原式☐2ie'dt 令n□t,v☐e o2ūe'oedt[ □2(te'☐e)□C 口2ex(元al)☐C

例7. 求 解: 令 则 原式 令

例8.设In=in”xdx(niN),证明递推公式 Isinco(2) n n 证：L=心inm'xsinxdx=-d心in-'xd(cosx) =-sin"xcos+cosxd(sin"x) =-sin"xcosx+cosx(n-1)sin"2xcos xdx =-sin"xcosx+(n-1)ocos2xsin"2xdx =-sin"xcosx+(n-1)o1-sin2x)sin"2 xdx =-sinm-xcosx-+(n-l)心in”-2xdr-(n-l)心in”xd sin xcos(2) n

例8. 设 证: 证明递推公式:

说明： 分部积分题目的类型 1)直接分部化简积分： 2)分部产生循环式，由此解出积分式； (注意：两次分部选择的u,v函数类型不变， 解出积分后加C)》 例4 3)对含自然数n的积分，通过分部积分建立递 推公式

说明: 分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ) 例4 3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 . 例4