《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-8 常系数非齐次线性微分方程

第、节 第七章 常系数非齐次线性微分方程 一、f(x)口ex P(x)型 二、f(x)□eOx[P(x)cosx 口Pn(x)sin口x]型

常系数非齐次线性微分方程 第八节 一、 二、 第七章

二阶常系数线性非齐次微分方程 y四oyqy f(x)(p,q为常数) ① 根据解的结构定理，其通解为 y OYOy* 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法一待定系数法 根据f(x)的特殊形式，给出特解y*的待定形式， 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数

二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法

一、f(x)exp((x)型 口为实数Pm(x)为m次多项式 设特解为y*☐exQ(x),其中Q(x)为待定多项式， y*DeL口2(xy)] y*ne[子Q(x)·2口O0x)0Qy] 代入原方程，得 QCx)□(2口口p)24x)□(G口p0口q)2(x)口Pm(x) (1)若口不是特征方程的根即口口p口口q口0，则取 Qx)为m次待定系数多项式Qm(x),从而得到特解 形式为y*□er2m(x)

一、 ￾ 为实数 设特解为, 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 . (1) 若 ￾ 不是特征方程的根 , 则取 从而得到特解 形式为 Q (x) 为 m 次待定系数多项式

Qx)(2口回D20x)G口p口口g2(x)口Pm(x) (2)若口是特征方程的单根即 d0p口□qa0, 200p00 则Qm)为m次多项式，故特解形式为y*口xQm(x)e (3)若口是特征方程的重根即 Op00q00, 20□p☐0， 则Ox) 是m次多项式，故特解形式为y*口xQ,m(x)ex 小结 对方程①，当口是特征方程的k重根 可设 特解 y*l2n(we(k0.12) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程·

(2) 若￾ 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 ￾ 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式, 故特解形式为 小结 对方程①, 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 即 即 当￾ 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解

例1.求方程y□2y☐3y口3x☐1的一个特解 解：本题口口0，而特征方程为r2☐2r口3☐0， 口口0不是特征方程的根 设所求特解为y*口box□b,代入方程 □3bx☐3b口2b口3x☐1 比较系数，得 口3b口3 D2b☐361□1 ,口，4明 于是所求特解为)y口x吲

例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为

例2.求方程yT5y四6y口xe2x的通解 解：本题☐口2，特征方程为r2口5r口6口0，其根为 1☐23☐3 对应齐次方程的通解为y☐Ce2x口C2ex 设非齐次方程特解为y*口x(b。x☐b)e2x 代入方程得☐2bx□b口2b□x 比较系数，得 02b01 2b☐b☐0 因此特解为y*口x(口号x口I)e2x 所求通解为yCC1e2x□C2e3xC(号x2口x)e2x

例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为

例3.求解定解问题 y▣3y中2y1 Dy(0)☐y0)口y0)□0 解：本题☐回0，特征方程为r3☐3r2□2r☐0，其根为 片□02口▣，5口2 故对应齐次方程通解为Y口C1☐C2e☐C3e皿x 设非齐次方程特解为y*口bx,代入方程得2b口1，故 y*口x,原方程通解为 y oc ac2er□C3emx☐号x C1□C2□C3□0 由初始条件得 口C2口2C3▣□ C2☐4C3☐0

例3. 求解定解问题 解: 本题 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 由初始条件得

解得 于是所求解为 y (4)

于是所求解为 解得

二、f(x)☐erE(x)cos口xaPn(x)sinx型 分析思路 第一步将f(x)转化为 f(x)0Pn(x)en口)xCPm(x)e画回x 第二步求出如下两个方程的特解 ypyqy P (x)e(x ypyqy P (x)e)x 第三步利用叠加原理求出原方程的特解

二、 第二步 求出如下两个方程的特解 分析思路: 第一步将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解

欧拉公式

欧拉公式: