《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第二章 矩阵与向量_2.3 向量组的线性相关性_2.3 向量组的线性相关性（二）_2.3 向量组的线性相关性（二）

线性代数第二章 S2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关与线性无关 三、向量组线性相关性的判定 四、向量组的等价 五、向量组的最大无关组 六、向量空间的基与向量的坐标 七、小结 上页 下页 返回 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 一、线性组合 二、线性相关与线性无关 三、向量组线性相关性的判定 四、向量组的等价 五、向量组的最大无关组 六、向量空间的基与向量的坐标 七、小结 §2.3 向量组的线性相关性 上页 下页 返回

线性代数第二章 S2.3.2向量组的线性相关性（二） 三、向量组线性相关性的判定 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 §2.3.2 向量组的线性相关性(二) ￾￾￾三、向量组线性相关性的判定

线性代数第二章 三、线性相关性的判定 向量组口1，·2，口m中有没有某个向量能由其余向量线 性表示，是线性相关组与线性无关组的本质区别对此我们有 以下定理. 定理2.3.1向量组口1，口2，口m(m口2)线性相关的充分 必要条件是该向量组中至少有一个向量是其余一1个向量 的线性组合. 其逆否命题为？ 向量组41,02l.,4m(m32)线性无关 U 每一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示 证：必要性 设口1，口2，口m线性相关，则存在一组不全为零的数 口1，口2,0m,使得口1+口202+.+口m口m=0 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 定理2.3.1 向量组￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m ( m ￾ 2 ) 线性相关的充分 必要条件是该向量组中至少有一个向量是其余 m－1个向量 的线性组合. 证：必要性 设￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 线性相关，则存在一组不全为零的数 ￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m ，使得￾ 1￾ 1 + ￾ 2￾ 2 + .+ ￾ m￾ m = 0 三、线性相关性的判定 向量组￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m中有没有某个向量能由其余向量线 性表示，是线性相关组与线性无关组的本质区别.对此我们有 以下定理 . 其逆否命题为? 向量组 线性无关 每一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表示

线性代数第二章 不妨设口m口0，则 4m=- I m-La m-1 m 即：口m是口1，口2’，口m-1的线性组合。 充分性： 设口m是其余向量的线性组合，即存在数 口1，口2.，口m-1,使得 0m=口01+口202+.+口m-0m-1 有口口1+口2口2+.+口m口m-1+(一1)口m=0 故 口1,02，口m线性相关. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 即： ￾ m 是￾ 1 ， ￾ 2 ，.， ￾ m－1的线性组合. 充分性： 设 ￾ m 是其余向量的线性组合，即存在数 ￾ 1 ,￾ 2 ,. ,￾ m－1 ，使得 ￾ m = ￾ 1￾ 1 + ￾ 2￾ 2 + .+ ￾ m－1￾ m－1 有 ￾ 1￾ 1 + ￾ 2￾ 2 + .+ ￾ m–1￾ m－1 + (－1) ￾ m ＝ 0 ￾ 1 ,￾ 2 故 ,.,￾ m线性相关. 不妨设 ￾ m ￾ 0，则

线性代数第二章 定理2.3.2：设向量组a1,a2,L,am线性无关，而 向量组f,a1,a2,L,am线性相关，则B可由a1,a2,L,am 线性表示且表示式唯一. 证：Q向量组f,a1,a2,L,0m线性相关，则一定存在 一组不全为零的数k,k1,k,L,km,使 kB+k a+k2az+L kmam= 这里必有k10,否则，假设k=0,有 k a+k2a2+L+kmam=0 由向量组01，a2,L,0m线性无关知： 版权所有山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 证：

线性代数第二章 k=k2=L=k=0 故p可由a,a2,L,an线性表示. 再证惟一性 (k1-I1)a1+(k2-12)a2+L+(km-lm)am=0 由向量组a1,a2,L,am线性无关知： k,=l,i=1,2,L,m. 所以表示式惟一. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 所以表示式惟一. 再证惟一性

线性代数第二章 例6设n维向量a,=(a1,42,L,am),i=1,2,L,m 证明(1)m=n时，向量组a1,a2,L,an线性无关 的充分必要条件是行列式 a1112 4 21422 4 42n10 MM M 即：n+1个n维向量 (2)m>n时，a1,a2,L,am必线性相关. 必线性相关 证(1)必要性 若向量组a1,a,L,an线性无关，则 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 证 (1)必要性

线性代数第二章 k41+k02+4kn4n=0 仅当k,=k2=4=kn=0时成立，或齐次线性方程组 i auk +azkz ++ankn =0, ank,+axkz ++ank=0, i 444444 auk aznkz +amkn 0. 只有零解。 由定理1.4.2知，方程组的系数行列式： 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 只有零解. 由定理1.4.2知，方程组的系数行列式：

线性代数第二章 21 4 4 D= 412 022 1 0. h 4 4 01n A2n 4 故 01 421 4 01n lan 422 4 A2n =D10. 4 4 4 4 充分性由克拉默法则可知，以上过程反之亦然， 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 故 充分性￾￾由克拉默法则可知，以上过程反之亦然

线性代数第二章 (2)m>n时，若向量组的前n个向量a1,a2,L,an线性 相关，则原向量组线性相关 部分相关 整体相关 若a1,a,L,an线性无关，由结论()知，行列式 an az am D- 12 422 a210. ⅓4 而D是与x,+x,2+⅓+x,Ⅱn=an对应的线性方程组 的系数行列式，由克拉默法则知该方程组有惟一解， 从而an,可由a1,a2,H,un线性表示. 所以01，a2,L,an1线性相关，故原向量组线性相关. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 部分相关, 整体相关