《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-6 高阶线性微分方程

第之节 第七章 高阶线性微分方程 一、线性微分方程 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法

高阶线性微分方程 第六节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、线性微分方程 第七章

一、 线性微分方程 (二阶线性微分方程) n阶线性微分方程的一般形式为 ym☐a,()yma）dD☐ana(x)yDan()y□f(x 「f(x)0时，称为非齐次方程： f(x)口0时，称为齐次方程 复习：一阶线性方程y四P(x)y口Q(x) 通解：y☐Ce(xr)dx口eU(xdx Q(x)e()dx 齐次方程通解Y 非齐次方程特解y

n 阶线性微分方程的一般形式为 (二阶线性微分方程) 时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 通解: 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 一、线性微分方程

二、线性齐次方程解的结构 定理1.若函数(x),y2(x)是二阶线性齐次方程 yDP(x)yDO(x)y口0 的两个解，则y☐Ch(x)口C22(x)(C1,C2为任意常数) 也是该方程的解.叠加原理 证：将y□CM(x)□C2y2(x)代入方程左边，得 [CC2y]P(x)[CyC2 ☐Q(x)[CM☐C2y2] □C[yTP(x)yDQ(x)M] ☐C2[yDP(x)y☐Q(x)y2】口0 证毕

证毕 二、线性齐次方程解的结构 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 证: 代入方程左边, 得 (叠加原理) 定理1

说明： y口C(x)口C2y2(x)不一定是所给二阶方程的通解 例如，y(x)是某二阶齐次方程的解，则 2(x)☐2(x)也是齐次方程的解 但是 C1M(x)☐C2y2(x)☐(C1☐2C2)M(x) 并不是通解 为解决通解的判别问题，下面引入函数的线性相关与 线性无关概念

说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念

定义：设(x),y2(x),口，yn(x)是定义在区间I上的 n个函数，若存在不全为0的常数k,k2,口，kn,使得 kM(x)☐k2y2(x)☐□knyn(x)☐0，x☐I 则称这个函数在I上线性相关，否则称为线性无关， 例如，1，cosx,sinx,在（口口，口口）上都 1☐cos2x☐sx口0 故它们在任何区间I上都线性相关， 又如，1，x,x2,若在某区间1上k1□k2x□k3x2□0 则根据二次多项式至多只有两个零点，可见k,k2,k3 必需全为0，故1，x,x2在任何区间I上都线性无关

定义: 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在(￾￾ , ￾￾ )上都 有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数

两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件： y(x),y2(x)线性相关，二存在不全为0的k,k2使 kh(x)☐k2y2(x)☐0 (x) (无妨设 y2(x k k□0） (x)y2(x)线性无关 y1(x) y2(x） 常数 思考：若(x),y2(x)中有一个恒为0，则(x),y2(x) 必线性相关

两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关

定理2.若y(x),y2(x)是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解，则y☐Cy1(x)口C2y2(x)(C1,C2为任意常 数)是该方程的通解 例如，方程y□y□0有特解口cosx,y2□sinx,且 ☐tanx 常数，故方程的通解为 y□C1cosx☐C2sinx 推论。若1，y2,口，yn是n阶齐次方程 ym☐a()ynd）D口aa(x)yan(x)yI0 的n个线性无关解，则方程的通解为 y□ChO口■Cnym(Ck为任意常数)

定理 2. 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 则

三、线性非齐次方程解的结构 定理3.设y*(x)是二阶非齐次方程 y☐P(x)yQ(x)y▣f(x)① 的一个特解，Y(x)是相应齐次方程的通解，则 y☐Y(x)Oy*(x) ② 是非齐次方程的通解 证：将y□Y(x)□y*(x)代入方程①左端，得 (Y▣y*四□P(x)(Y卫y*可口Q(x)(Y口y*) 口(y*P(x)y*Q(x)y*)□(YTP(x)Y中Q(x)Y) 卫f(x)☐0▣f(x)

三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 3. 则 是非齐次方程的通解 . 证: 将 代入方程①左端, 得 ② ①

故y☐Y(x)口y*(x)是非齐次方程的解，又Y中含有 两个独立任意常数，因而②也是通解 证毕 例如，方程y四y口x有特解y*口x 对应齐次方程y☐四y口0有通解 Y☐C1cosx☐C2sinx 因此该方程的通解为 y□C1cosx□C2sinx□x

是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 因而 ② 也是通解 . 证毕

定理4.设y(x)(k□1,2，口，m)分别是方程 yP(x)y☐Q(x)y□f(x)(k☐1,2，▣，m) 的特解，则y口口y呢是方程 k□ y四P(x)y中Q(x)yD☐.fk(x) k▣ 的特解，（非齐次方程之解的叠加原理） 定理3，定理4均可推广到n阶线性非齐次方程

定理 4. 分别是方程 的特解, 是方程 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程