《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第二章 矩阵与向量_2.3 向量组的线性相关性_2.3 向量组的线性相关性（一）_2.3 向量组的线性相关性（一）

线性代数第二章 S2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关与线性无关 三、向量组线性相关性的判定 四、向量组的等价 五、向量组的最大无关组 六、向量空间的基与向量的坐标 七、小结 上页 下页 返回 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 一、线性组合 二、线性相关与线性无关 三、向量组线性相关性的判定 四、向量组的等价 五、向量组的最大无关组 六、向量空间的基与向量的坐标 七、小结 §2.3 向量组的线性相关性 上页 下页 返回

线性代数第二章 §2.3.1 向量组的线性相关性（一） 一、线性组合 二、线性相关与线性无关 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 §2.3 .1 向量组的线性相关性(一) 一、线性组合 二、线性相关与线性无关

线性代数第二章 一、线性组合 在向量线性运算的基础上，本节来讨论向量之间的关系. 定义2.3.1对于向量口1，口2，.，口m和口，若存在个 数口1口2，.，口m,使得： 口=口1口1+口202+叶口m口m 则称口是口1，口2，口m的线性组合，口1，口2，.，口m 称为组合系数，或称向量口可由向量组口1，口2，.，口线 性表示 显然，零向量是任何一组向量的线性组合 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 一、线性组合 在向量线性运算的基础上,本节来讨论向量之间的关系. 定义2.3.1 对于向量￾ 1 ,￾ 2 ,., ￾ m 和￾ ，若存在m个 数￾ 1,￾ 2,. ,￾ m ，使得： ￾ = ￾ 1￾ 1 + ￾ 2￾ 2 + .+ ￾ m￾ m 则称￾ 是￾ 1,￾ 2 ,.,￾ m 的线性组合，￾ 1,￾ 2,. ,￾ m 称为组合系数,或称向量￾ 可由向量组￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m线 性表示 . 显然，零向量是任何一组向量的线性组合

线性代数第二章 例1设n维向量 e1=(1,0,4,0) e2=(0,1,4,0) LLLLLL en=(0,0,4,1) a=(a1,42,H,an)是任意一个n维向量，由于 a =ae +ae,++a en 所以a是e1,e2,4,en的线性组合. 运常称e1,e2,4,en为n雅单位生标向量组. 同维数的向量所组成的集合称为向量组. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 同维数的向量所组成的集合称为向量组. 通常称 为n维单位坐标向量组

线性代数第二章 例2证明向量M=(0,4,2)是向量a1=(1,2,3), 02=(2,3,1),a3=(3,1,2)的线性组合，并将 a用a1,02,3线性表示. 解：先假定4=141+124，+I33”即 (0,4,2)=11(1,2,3)+12(2,3,1)+13(3,1,2) =(l1+2l2+313,211+312+13,311+12+2l3) 因此 ì1，+21，+313=0， 21,+31,+13=4, 311+12+21,-2. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 因此 解：先假定 即

线性代数第二章 由于该线性方程组的系数行列式 2 3 2 31 =-1810, 3 1 2 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 l1=1,l2=1,13=-1 于是D可表示为M=M1十u2-43 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 由于该线性方程组的系数行列式 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 于是￾ 可表示为

线性代数第二章 一对 般地，口与口1，口2，口m必为且仅为一下三种情 形之一： 10口可由口1，口2，口m的线性表示，且表达式唯一； 20口可由口1，口2，口m的线性表示，但表达式不唯一； 30口不能由口1，口2，·m的线性表示。 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 一般地， ￾ 与￾ 1 ,￾ 2 ,., ￾ m 必为且仅为一下三种情 形之一： 1 0 ￾ 可由￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 的线性表示，且表达式唯一； 2 0 ￾ 可由￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 的线性表示，但表达式不唯一； 3 0 ￾ 不能由￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 的线性表示

线性代数第二章 对于n元线性方程组： iax+a2x2+.+ainxn=b u21X,+42x2+.+42nxn=b2 . am+am22amnn=bm 若以4，表示其中第j个未知量的系数构成懒 维列向量，即 ea1ù éb1ù eú 仓042jú b= 407=1、2,L0 且 eva u ú e,u 80m且 ěbmi 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 对于￾￾￾￾元线性方程组: 若以￾￾￾￾￾￾￾表示其中第 j 个未知量的系数构成的￾￾￾ 维列向量，即 且

线性代数第二章 那么，方程组（右）可以表示为 i41X1+412X2+.+41nXm=b iaa++an=b2 xa +xaz++xan=b mamamn=bm 于是，方程组有没有解的问题就转化为向量口能否由 向量组口1，口2，口m线性表示 当口能由向量组，a2,L4m 线性表示且表达式唯一时 方程组有解且解唯一 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 那么，方程组(右)可以表示为 于是，方程组有没有解的问题就转化为向量 ￾ 能否由 向量 组 ￾ 1 ,￾ 2 ,., ￾ m 线性表示. 当 ￾ 能由向量组￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾线性表示且表达式唯一时, 方程组有解且解唯一

线性代数第二章 二、线性相关与线性无关 定义2.3.2设n维向量组 口1，□2，口m’ 如果存在不全为0的m个数k1,k2,.,km,使得 k1□1+k2口2+.+km□m=0 则称向量组口1，口2，口m线性相关，否则称它们线性无关。 注： 1，·2，·m线性无关，就 是 k1口1+k2口2+.+km口m=0< k1=k2=.=km=0 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 定义2.3.2 设n维向量组 ￾ 1 , ￾ 2 ,., ￾ m ， 如果存在不全为0 的m 个数k1，k2，. ，km，使得 k1￾ 1 + k2￾ 2 + .+ km￾ m = 0 注： ￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 线性无关,就 是 k1￾ 1 + k2￾ 2 + .+ km￾ m = 0 k1 = k2 = . = km= 0 则称向量组￾ 1 ,￾ 2 ,.,￾ m 线性相关,否则称它们线性无关. 二、线性相关与线性无关