《线性代数》课程教资源（学习指导，B）第一章 n阶行列式_第一章 典型例题

第一章行列式 典型例题 例1-1求证 |00.0a 00.a-la D=. =(l）9aa.a ania2.a-lam 0.0 0 .a-23m-l 证明D=(a. . anl.atn-2at-l 0.0am-2 =(←11.(1)m-.ana2- 0.a4-》a4m-2 aal.aa-am-2 =. =(1r1.(←1）m.←2aa2-wai =(a.a-l.ai 例1-2计算行列式 x1+1x+2.x+m D=压+1+2.+ . . xn+1xn+2.x。+n川 解当n=2时，D=x-x2 当>2时，将D的第一列乘以(1)后加到其余各列

第一章 行列式 典型例题 例 1-1 求证 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a D          − − − = = − ； 证明 ( ) 1 ( 2) ( 1) 3( 2) 3( 1) 2( 1) 1 1 0 0 0 1 − − − − − + = − n n n n n n n n n n a a a a a a D a        ( ) ( ) 1 ( 3) ( 2) 4( 3) 4( 2) 3( 2) 1 2( 1) 1 1 ( 1) 0 0 0 1 1 − − − − − − + + − = −  −  n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a        =. ( ) ( ) ( ) 1 2( 1) 1 1 1 ( 1) 1 2 1 1 1 n n n n n  a a − a + + + + = −  − −  ( ) 1 2( 1) 1 2 ( 1) 1 n n n n n a a − a − = − 例 1-2 计算行列式 x x x n x x x n x x x n D n + n + n + + + + + + + =        1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 解 当 n=2 时， 1 2 D = x − x 当 n> 2 时， 将 D 的第一列乘以 (-1) 后加到其余各列

x+112.n-1 D=5+112.n- =0 . x。+112.n-l 例13计算行列式 |xa.a D=ax.a aa.x 解各行都加到第一行，在从第一行中提出x+-1)a, 11.1 D=k+a-lax.a aa.x 将第一行乘-a分别加到其余各行，得 11. 1 D-kt(a-Dala x-a.o 00.x-a =[x+(n-1)akx-a)" 例14解方程 111 1 11-x1. 112-x. =0 111. n-1-x 解该行列式展开后是关于x的一个1次多项式，至多有1个实根，而 x-0,1,2n-2时，行列式为零，故x=0,1,2.,n-2为方程的全部根。 例15求解线性方程组

0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 = + − + − + − = x n x n x n D n         例 1-3 计算行列式 a a x a x a x a a D        = 解 各行都加到第一行，在从第一行中提出 x+(n-1)a，   a a x a x a D x n a       1 1  1 = + ( −1) 将第一行乘−a 分别加到其余各行，得   x a a x a D x n a − − = + −        0 0 0 1 1 1 ( 1)  ( ) 1 ( 1) − = + − − n x n a x a 例 1-4 解方程 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − − − n x x x          解 该行列式展开后是关于 x 的一个 n-1 次多项式，至多有 n-1 个实根，而 x-0,1,2,.,n-2 时，行列式为零，故 x=0,1,2,.,n-2 为方程的全部根。 例 1-5 求解线性方程组

[x,+2x2-x3+3x4=2 2x,-x2+3x3-2x4=7 3x2-x3+x4=6 x-x3+3+4x4=-4 解D=-39+≠0故必有唯一解 D1=-39,D2=-117,D3=-78,D4=39 故x1=1,x2=3,x=2,x4=-1 例16问1取何值时齐次线性方程组 [0-2)x1-2x2+4x=0 2x1+(3-)x2+x3=0有非零解 +x2+1-)x=0 解方程组的系数行列式为 1-24 D=23-11=B-22-2)n 111- 令D=0,得1=0，元2=2元=3 于是，当=0，或元=2，或1=3时，齐次线性方程组有非零解

       − + + = − − + = − + − = + − + = 4 4 3 6 2 3 2 7 2 3 2 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x 解 D = −39  0 故必有唯一解 D1 = −39,D2 = −117,D3 = −78,D4 = 39 故 x1 =1, x2 = 3, x3 = 2, x4 = −1 例 1-6 问  取何值时齐次线性方程组      + + − = + − + = − − + = (1 ) 0 2 (3 ) 0 (1 ) 2 4 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x    有非零解 解 方程组的系数行列式为 ( )( )    3 2 1 1 1 2 3 1 1 2 4 = − − − − − − D = 令 D=0,得 1 = 0,2 = 2,3 = 3 于是 ， 当  = 0 ，或  = 2 ，或  = 3 时，齐次线性方程组有非零解