《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5.1 向量的内积与正交向量组_5.1 向量的内积与正交向量组

第5章 相似矩阵与二次型 ·S5.1向量的内积与正交向量组 ●$5.2方阵的特征值与特征向量 ● S5.3相似矩阵 ● $5.4实对称矩阵的相似对角形 ●S5.5二次型及其标准型 §5.6正定二次型 上页 下页儿 返回 版权所有：山东理工大学理学院

版权所有：山东理工大学理学院 第5章 相似矩阵与二次型 §5.2 方阵的特征值与特征向量 §5.1 向量的内积与正交向量组 §5.3 相似矩阵 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 §5.5 二次型及其标准型 §5.6 正定二次型 上页 下页 返回

5.1向量的内积及正交向量组 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结思考题 版权所有：山东理工大学理学院

版权所有：山东理工大学理学院 二、向量的长度及性质 五、小结 思考题 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 一、内积的定义及性质 §5.1 向量的内积及正交向量组

一、内积的定义及性质 版权所有：山东理工大学理学院

版权所有：山东理工大学理学院 一、内积的定义及性质

说明： 1.n(≥4)维向量的内积是3维向量数量积 的推广. 版权所有：山东理工大学理学院

版权所有：山东理工大学理学院 说明: 1. n(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积 的推广．

内积运算的性质 其中a,b,g为n维向量，1为实数)： ()a,b]=[b,a5 (2)la,b]=1a,b]: (3)a+b,g]=ag+[bg]; (4)[a,u]30,且当a10时有a,a]>0. 版权所有：山东理工大学理学院

版权所有：山东理工大学理学院 内积运算的性质

二、向量的长度及性质 定义5.1.2 1 向量的长度具有下述性质： 1.非负性当a10时，a>0:当a=0时，a=0 2.齐次性la=lla; 3.三角不等式a+b￡4+b: 版权所有：山东理工大学理学院

版权所有：山东理工大学理学院 定义5.1.2 向量的长度具有下述性质： 二、向量的长度及性质

可 版权所有：山东理工大学理学院

版权所有：山东理工大学理学院

三、正交向量组的概念及求法 定义5.1.3一组两两正交的非零向量称为 正交向量组.若正交向量组中每个向量都是 单位向量，则称该向量组为标准正交向量组. 版权所有：山东理工大学理学院

版权所有：山东理工大学理学院 定义5.1.3 一组两两正交的非零向量称为 正交向量组．若正交向量组中每个向量都是 单位向量,则称该向量组为标准正交向量组. 三、正交向量组的概念及求法

定理5.1.1正交向量组是线性无关向量组： 证明 已知a1,42,L,am是正交向量组，设 k a+ka2+L+kam=0 用4，与等式两边做内积，得 k;[a,a;]=0i=1,2,L,m 由a,10,有a,a;J>0,从而得 k:=0i=1,2,L,m. 故a1,a2L,am线性无关. 版权所有：山东理工大学理学院

版权所有：山东理工大学理学院 定理5.1.1 正交向量组是线性无关向量组. 证明

由定理知道，正交向量组是线性无关的，但线 性无关的向量却不一定正交向量组.例如 elù 2ù 3ù a1= 是线性无关的，但 e2ú 0日 0H 1 不是正交向量组 问：是否可由线性无关的向量组，来找到一 组（标准)正交向量组，使得这两个向量组是等 价呢？下面我们来介绍一种方法. 版权所有：山东理工大学理学院

版权所有：山东理工大学理学院 由定理知道，正交向量组是线性无关的,但线 性无关的向量却不一定正交向量组. 例如 问：是否可由线性无关的向量组，来找到一 组（标准）正交向量组，使得这两个向量组是等 价呢? 下面我们来介绍一种方法. 是线性无关的，但 不是正交向量组