《数学分析》课程教学课件（讲稿）隐函数组

§2隐函数组 隐函数组的存在性、连续性与可微性是 函数方程组求解问题的理论基础.利用隐 函数组的一般思想，又可进而讨论反函数 组与坐标变换等特殊问题。 一、隐函数组概念 二、隐函数组定理 三、反函数组与坐标变换 前页 后页

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一、隐函数组概念 设有一组方程 F(x,y,u,v)=0, (1) ￥G(x,y,u,y)=0, 其中F与G定义在VR4.若存在D,EiR2, 使得对于任给的(x,y)ID,有惟一的u,)iE与 之对应，能使(x,y,W,)1V,且满足方程组（①）， 则称由(1)确定了隐函数组 前

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ìu=(x,y), (x,y)i D,(u,v)iE, ǐv=y(x,y), 并有 ìF(x,y,(x,y),y(x,y)°0， (x,y)i D. 1G(x,y,(x,y),v(x,y)°0， 关于隐函数组的一般情形（含有m+n个变量的 m个方程所确定的n个隐函数)，在本章不作详 细讨论. 前页

前页 后页 返回 并有 关于隐函数组的一般情形 ( 含有 m + n 个变量的 m 个方程所确定的 n 个隐函数 )，在本章不作详 细讨论．

首先来看看，若由方程组()能确定两个可微的 爵数L=4x,)与v=(x,以，则函数FG应满 足何种条件呢？ 不妨先设F口G都可微，由复合求导法，通过对 分别求关于x与关于y的偏导数，得到 】Fx+Fu4x+Fyx=0, (2) iGx+Guux +Gyvx=0; Fy+Fuuy+Fvvy=0, (3) ǐGy+Gw4+G,yy=0. 前

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能由(2)与(3)惟一解出(u,y)与(4，y,)的充要 条件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即 10. (4) (w,y) 由此可见，只要F口G具有连续的一阶偏导数，且 Jp,10,其中(xo,4,0)是满足（的某一 初始点，则由保号性定理，$U(P),使得在此邻域 内(4)式成立. 根据以上分析，便有下述隐函数组定理， 前

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雅可比（Jacobi,C.G.J.1804-1851,德国

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二、隐函数组定理 定理18.4（隐函数组定理)设方程组(1)中的函 教与G满足下列条件： ()在以点P(,Jo,4,o)为内点的某区域ViR4 上连续； ()F(D,)=G(P)=0(初始条件)； (在V内存在连续的一阶偏导数； (iv)/in( 10. (u,v) Po 前

前页 后页 返回 定理 18.4 ( 隐函数组定理 ) 设方程组 (1) 中的函 数F 与 G 满足下列条件： (i) 在以点 为内点的某区域 上连续； (ii) (初始条件); (iii) 在 V 内存在连续的一阶偏导数； (iv) 二、隐函数组定理

则有如下结论成立： 1°必定存在邻域U(P)=U(2)'U(Wo)iV,其中 0=(0,y0),W=(4,0),使得 "(x,y)iU(2),$!(u,)iU(Wo), p有i0i 且满足4，=4(x,),=v(x,)以及 iF(x,y,u(x,y)(x,y)》°0， (,y)1U(g). iG(x,y,u(x,y),v(x,y))0, 前

前页 后页 返回 即有 则有如下结论成立： 且满足 必定存在邻域 其中 使得

2°(x,y),v(x,y)在U(Qo)上连续 3(x,y),v(x,y)在U(Qo)上存在一阶连续偏导 数，且有 i =.1(E,G i 2=.1(F,G) x J (x,) J (u,x) 1(F,G) i./ 1 (F,G) y 1(y,v) 羊y (u,y) 本定理的详细证明从略（第二十三章有一般隐函 数定理及其证明)，下面只作一粗略的解释：

前页 后页 返回 在 上连续. 在 上存在一阶连续偏导 数, 且有 本定理的详细证明从略 ( 第二十三章有一般隐函 数定理及其证明 ), 下面只作一粗略的解释:

①由方程组(1)的第一式F(x,y,W,)=0确定隐 函数u=j(x,y,),且有 ix=-Fx/Fu,iy=-Fy/Fu,jv=-Fv/Fu. ②将w=j(x,y,)代入方程组（①）的第二式，得 H(x,)=G(x,y,j(x,y,),y)=0. ③再由此方程确定隐函数v=v(x,y),并代回至 u=j (x,y,v(x,y))=u(x,y). 这样就得到了一组隐函数 u=u(x,y),v=v(x,y). 前页

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