《数学分析》课程教学课件（讲稿）几何应用

§3几何应用 在本节中所讨论的曲线和曲面，由于它们 的方程是以隐函数（组）的形式出现的，因此 在求它们的切线或切平面时，都要用到隐函 数（组）的微分法. 一、平面曲线的切线与法线 二、空问曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 *四、用参数方程表示的曲面 前页 后 回

前页 后页 返回 在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们 的方程是以隐函数(组)的形式出现的, 因此 在求它们的切线或切平面时, 都要用到隐函 数(组)的微分法. §3 几 何 应 用 三、曲面的切平面与法线 返回 一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 *四、用参数方程表示的曲面

一、平面曲线的切线与法线 曲线L:F(x,y)=0; 条件：P(o,o)为L上一点，在P近旁，F满足 隐函数定理条件，可确定可微的隐函数： y=Jy(x)(或x=x(y)); L在P处的切线： y-yo=-gF(Po)/F(P)(x-xo) 咸x-=-E,()/F()9y-yo) 前

前页 后页 返回 一、平面曲线的切线与法线 曲线 L ： 条件： 上一点, 近旁, F 满足 隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数: 处的切线：

总之，当(F(P),F,(P)1(0,0)时，就有 法向量：n=(F(P),F(P) 切线方程：F(P)(c-0)+F,()(y-Jo)=0() 法线方程：F,(P)(c-xo)-F(P)(y-o)=0i 例1求笛卡儿叶形线 2(x3+y3)-9xy=0 在点P(2,1)处的切线与法线. 解设F(x,y)=2(x3+y3)-9xy.由S1例2的讨 论（这里a=3/2),F在点P近旁满足隐函数定理 前

前页 后页 返回 总之, 当 例1 求笛卡儿叶形线 在点 处的切线与法线. 解 设 由§1 例 2 的讨 论 近旁满足隐函数定理

的条件.容易算出 (F(P),F,(Po)=(15,-12), 于是所求的切线与法线分别为 15(x-2)-12(y-1)=0,即5x-4y-6=0; 12(x-2)+15(y-1)=0,即4x+5y-13=0. 例2用数学软件画出曲线L:x2+y-sinxy=0 的图象：并求该曲线在点B(D,-p2)处的 切线与法线

前页 后页 返回 的条件. 容易算出 于是所求的切线与法线分别为 例2 用数学软件画出曲线 的图象；并求该曲线在点 处的 切线与法线

解在MATLAB指令窗内执行如下绘图指令： syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,11); 就立即得到曲线L的图象（见本例末页图18一6）. 令F(x,y)=x2+y-sinxy,容易求出： F(P)=(2x-ycos2p, F(B)=(1-xcosxy)=1+p. 前页

前页 后页 返回 解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令: syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]); 就立即得到曲线 L 的图象 (见本例末页图18－6). 令 容易求出:

由此得到L在点P,处的切线与法线分别为： (2沉-p2)(-沉)+(1+祁)y+p2)=0, (1+D)(x-那)-(2D-p2)(y+p2)=0. 若在上面的MATLAB指令窗里继续输入如下指 令，便可画出上述切线与法线的图象. hold on;a=(pi)(1/3);b=a2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b)) 前页

前页 后页 返回 由此得到 L 在点 处的切线与法线分别为： 若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指 令, 便可画出上述切线与法线的图象. hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))

x+y-sin(x)=0 图18一6 前页

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例3设一般二次曲线为 L:Ax2+2Bxy+Cy-+2Dx+2Ey+F=0, P(xo)1L.试证L在点P,处的切线方程为 Axx+B(yox+xoy)+C☑oJ +D(x+xo)+E(0+o)+F=0. 证令G(x,y)=Ax2+2Bxy+Gy2+2Dx+2Ey+F, i Gx(Po)=2Axo+2Byo+2D, 则有 iG,(P)=2Bx+2C0+2E. 前

前页 后页 返回 例3 设一般二次曲线为 试证 L 在点 处的切线方程为 证

由此得到所求切线为 (Axo+Byo+D)(x-xo) +(Bx0+Co+E)(Uy-y0)=0, 利用(xoyo)满足曲线L的方程，即 F=-(Axo2+2Bxovo+Cyo2+2Dxo+2Eyo), 整理后便得到 Axox+B(ox+xoy)+Cyoy +D(x+x)+E(y+o)+F=0

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二、空间曲线的切线与法平面 先从参数方程表示的曲线开始讨论. 在第五章$3已学过，对于平面曲线 x=x(t),y=y(t),M￡t￡b, 若P(x0)=(x(),(》是其上一点，则曲线 在点P,处的切线为 ⅓=h或 x-xo=y-yo xqto) xdto)yato) 下面讨论空间曲线

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