《数学分析》课程教学课件（讲稿）条件极值

§4条件极值 条件极值问题的特点是：极值点的搜索范 围要受到各自不同条件的限制.解决这类极 值问题的方法叫做拉格朗日乘数法. 条件极值问题的实际应用非常广泛，而且还 能用来证明或建立不等式. 一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 三、应用举例 前页 返回

前页 后页 返回 §4 条 件 极 值 条件极值问题的特点是: 极值点的搜索范 围要受到各自不同条件的限制. 解决这类极 值问题的方法叫做拉格朗日乘数法. 三、应用举例 返回 一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还 能用来证明或建立不等式

一、问题引入 很多极值问题，目标函数的自变量不能在其定义 域上自由变化，而是要受到某些条件的约束. 例1要设计一个容积为V的长方形无盖水箱，试 问长、宽、高各等于多少时，可使得表面积达到 最小？ 若设长、宽、高各等于x,y,乙，则 目标函数：S=2z(x+y)+xy; 约束条件：xyz=V

前页 后页 返回 一、问 题 引 入 很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义 域上自由变化, 而是要受到某些条件的约束. 例1 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试 问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到 最小? 若设长、宽、高各等于 x, y, z, 则 目标函数: 约束条件:

例2设曲线？=x2+y2,x+y+z=1.求此曲线上 的点到原点距离之最大、最小值.对此问题有 目标函数：w=√x2+y2+2; 约束条件：？=x2+y2,x+y+:=1. 还可举出很多这种带有约束条件的极值问题， 定义设目标函数为 y=f(x1,x2,L,xn),(x1,x2,L,x)I Di R"; 约束条件为如下一组方程： 前

前页 后页 返回 例2 设曲线 求此曲线上 的点到原点距离之最大、最小值. 对此问题有 目标函数: 约束条件: 还可举出很多这种带有约束条件的极值问题. 定义 设目标函数为 约束条件为如下一组方程:

F:jk(1x2,L,xm)=0,k=1,2,L,m(m0,使得 f(Po)￡f(P),"Pi WCU(Po;d)(或"PiW), 则称f(Po)是f(P)在约束条件F之下的极小值 (或最小值)，称P是相应的极小值点（或最小值 点).类似地又可定义条件极大（或最大）值

前页 后页 返回 为简便起见, 记 并设 若存在 则称 是 在约束条件 之下的极小值 (或最小值) , 称 是相应的极小值点 (或最小值 点). 类似地又可定义条件极大 (或最大) 值

二、拉格朗日乘数法 (A)拉格朗日乘数法探源先从n=2,m=1的最简 情形说起，即设目标函数与约束条件分别为 z=f(x,y)与j(x,y)=0. (1) 若由i(x,y)=0确定了隐函数y=(x),则使得目 标函数成为一元函数？=f(x,y(x).再由 是-f+8-号0 求出稳定点P(x0,)=(xo,Jy(x),在此点处满足 前

前页 后页 返回 二、拉格朗日乘数法 (A) 拉格朗日乘数法探源 先从 n = 2, m =1 的最简 情形说起, 即设目标函数与约束条件分别为 若由 确定了隐函数 则使得目 标函数成为一元函数 再由 求出稳定点 在此点处满足

(fiy-fix)=0. 这表示f的等值线 i(,Jy)=0 f(x,y)=z0 f(x,y)=c 与曲线i(x,y)=0在 Po 点P有公共切线（见图 18一12).由此推知： f(x,y)=zo 图18-12 存在比例常数10，满足 (fx(Po),fy(Po))+l o(jx(Po),j(Po))=(0,0). 这又表示：对于函数 前页

前页 后页 返回 这表示 的等值线 18－12). 由此推知: 存在比例常数 满足 这又表示: 对于函数 图 18－12 与曲线 在 点 有公共切线(见图

L(x,y,1)=f(x,y)+1j(x,y), 在点(x0,y0,10)处恰好满足： i Lx=fx(x,y)+ljx(x,y)=0, {L,=f(x,)+1j)=0, (2) b=j(x,)=0. 也就是说，(2)式是函数L(x,y,1)在其极值点处所 满足的必要条件.由此产生了一个重要思想： 通过引入辅助函数L(x,y,1),把条件极值问题() 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题

前页 后页 返回 在点 处恰好满足: 也就是说, (2) 式是函数 在其极值点处所 满足的必要条件. 由此产生了一个重要思想: 通过引入辅助函数 把条件极值问题 (1) 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题

(B)拉格朗日乘数法对于前面定义中所设的一般 目标函数和约束条件组，应引入辅助函数 L(x13X2,L,xn,113l2,L,1m) =f(x1,x2,L,xn)+81dk(x1,x2,L,xn).(3) k=1 称此函数为拉格朗日函数，其中11,12，L,1m称 为拉格朗日乘数， 定理18.6设上述条件极值问题中的函数f与jk (k=1,2,L,m)在区域D上有连续一阶偏导数.若

前页 后页 返回 (B) 拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般 目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数 称此函数为拉格朗日函数, 其中 称 为拉格朗日乘数. 定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数 在区域 D上有连续一阶偏导数. 若

D的内点(x0,y20,L,xn)是该条件极值问 题的极值点，且 éj1 K j1ù 6 ranke M 0 Mú =m, ú L x Txn Po 则存在m个常数10,1，L,1m,使得 (x0,x20,Lxn0,10,120,L,lm0) 前①

前页 后页 返回 D 的内点 是该条件极值问 题的极值点, 且 则存在 m 个常数 使得

为拉格朗日函数(3)的稳定点，即它是如下n+m 个方程的解： =+a7kx=0,i=1,2,Ln; xi IL =j(1,L,xn)=0,k=1,2,L,. 说明 对于n=2,m=1的情形，已在前面作了说 明；对一般情形的证明，将放到二十三章的定理 23.19中去进行

前页 后页 返回 个方程的解: 说明 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说 明; 对一般情形的证明, 将放到二十三章的定理 23.19 中去进行. 为拉格朗日函数 (3) 的稳定点, 即它是如下