《数学分析》课程教学课件（讲稿）二元函数的极限

§2二元函数的极限 与一元函数的极限相类似，二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数 的增多，导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式，而果次极限是一元函数情形下所不 会出现的： 一、二元函数的极限 二、累次极限 前过 后

前页 后页 返回 §2 二元函数的极限 与一元函数的极限相类似， 二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础. 但因自变量个数 的增多, 导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式, 而累次极限是一元函数情形下所不 会出现的. 一、二元函数的极限 二、累次极限 返回

一、二元函数的极限 定义1设二元函数f定义在DiR2业，P为D的 一个彩点，A是一实散.若"e>0,$d>0,使得当 PiU(P;d)ID时，都有 |f(P)-A|<e, 则称∫在D业当P®P时以A为极限，犯作 lim f(P)=A. P®P0 PI D 在对PID不致产生误解时，也可简单地写作 前

前页 后页 返回 一、二元函数的极限 定义1 设二元函数 定义在 上, 为 D 的 一个聚点, A 是一实数. 若 使得当 时, 都有 在对 不致产生误解时, 也可简单地写作 则称 在 D 上当 时以 A 为极限, 记作

lim f(P)=A. P®Po 当P,P分别用生标(x,y),(x,y)表示时，业式也 常写作 lim 1f(x,y)=A. (x,y)®(0,0) 例1传定义路0,1im,(x2+xy+y2)=7. (x,y)®(2,1) 证因为 x2+y+y2.7=(x2.4)+xy-2+(02-1) 前页

前页 后页 返回 当 P, 分别用坐标 表示时, 上式也 常写作 例1 依定义验证 证 因为

=|(x+2)(x-2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)y-1)川 ￡|x-2川x+y+2|+|y-1y+3. 不妨先限制在点(2,1)的方邻域 {《x,y)|x-21<1,1y-1<1} 内来讨论，于是有 1y+3|=|y-1+4|￡|y-1|+4<5, |x+y+2|=|(x-2)+(y-1)+5 ￡|x-2|+|y-1+5<7. 前页

前页 后页 返回 不妨先限制在点(2, 1)的方邻域 内来讨论, 于是有

所以 x2+xy+y2.70,取d=min(1为x-2<d,1y-1<d 且(x,y)1(2,1)时，就有 x2+xy+y2-7<7'2d=14d￡e. 这就证得 1im,(x2+xy+y2)=7. (x,y)®(2,1) 前页

前页 后页 返回 当 时, 就有 这就证得 所以

例2设 fx,y=w2+j,(x,)'(0,0, 0, (x,y)=(0,0), 证明 ,1im。f(x,y)=0. (x,y)®(0,0) 证（证法一）"e>0,由 前页

前页 后页 返回 例2 设 证明 证 (证法一)

=叫e+, 可知$d=V2e,当0<Vx2+y2<d时，便有 故limf(x,y)=0. (x,y)®(0,0) 注意不要把上面的估计式错写成： x2-y2 y-0 前过

前页 后页 返回 可知 故 注意 不要把上面的估计式错写成：

因为(x,y)®(0,0)的过程只要求(x,y)1(0,0),即 x2+y210,南并不要米xy10. (证法二)作极生标变换X=c0sj,y=rsinj.道时 (x,y)®(0,0)等价于r®0（对在何）.由于 sin 因此，"e>0,只须r=√x2+y2<d=2VE,对径何J 前顶

前页 后页 返回 因为 的过程只要求 即 而并不要求 (证法二) 作极坐标变换 这时 等价于 ( 对任何 ). 由于 因此， 对任何

都有 1fx,)-01EF2<e,即1im。f(x,J)=0. (x,y)®(0,0) 下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归 结原则（而且证明方法也相类似）. 定理16.5imf(P)=A的克要条件是：对于D的 P®Po PiD 任一子集E,只要P,仍是E的聚点，就有 lim f(P)=A. P®PO PiE 前页

前页 后页 返回 都有 下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归 结原则(而且证明方法也相类似). 定理16.5 的充要条件是：对于 D 的 任一子集 E,只要 仍是 E 的聚点,就有

推纶1若SE1iD,P。是E,的聚点，使limf(P) PR Po Pi E 不存在，则imf(P)也不存在. PR PO PID 推论2若$E1,E2iD,P是它们的聚点，使得 lim f(P)=A lim f(P)=4 P®P PR PO Pi E Pi E2 都存在，但A,1A2,则imf(P)不存在. PiD 前

前页 后页 返回 推论1 若 , P0 是 E1 的聚点, 使 不存在, 则 也不存在． 推论2 若 是它们的聚点，使得 都存在，但 , 则 不存在．