《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第四章 线性方程组_4.3 非齐次线性方程组_4.3 非齐次线性方程组

线性代数第三章 §4.3非齐次线性方程组 。一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组的通解 上页 下页 返回 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 §4.3 非齐次线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组的通解 上页 下页 返回

线性代数第三章 对于非齐次线性方程组： iax+azx2++ainxn=b, a21x,+a22x2+4+2mXn=b2, (4-1) i 4444444 amamamun=bm 412 Va dinu éx1ù ebù e 4 ú e.ú ú 记A= 21 422 èi,b= ev 4 4 ⅓ ehúi ev u e ú eú ú n an2 4 ěrni 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 对于非齐次线性方程组: (4-1)

线性代数第三章 则线性方程组(4-1)可记为Ax=b. 齐次线性方程组 i11X1+a12X2+4+41mxn=0, 421X1+422X2+4+42mXn=0, I (4-5) i 4444444 amx+am2x2+amnxn=0. 可记为Ax=0. 我们把方程组(4-5)称为与方程组(4-1)对应的 齐次线性方程组. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 则线性方程组(4-1)可记为 Ax=b. 齐次线性方程组 可记为 Ax=0. 我们把方程组(4-5)称为与方程组(4-1)对应的 齐次线性方程组. (4-5)

线性代数第三章 一、非齐次线性方程组有解的条件 定理3：非齐次线性方程组 Awnxr1=bm1有解 r(A)=r(4) 并且，当r(A)=r()=n时，有唯一解； 当(A)=r(A)<n时，有无穷多解。 二、非齐次线性方程组解的性质 性质43.1：h1h2是AwnXr1=bn1的解，则h1h,是 对应的齐次线性方程组Ax=0的解。 [因A1-h2)=b-b=0.所以x=h,-h2满足方程Ax=0. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 一、非齐次线性方程组有解的条件 定理3：非齐次线性方程组 有解 并且，当 时，有唯一解； 当 时，有无穷多解。 二、非齐次线性方程组解的性质 性质4.3.1： 是 的解，则 是 对应的齐次线性方程组 的解

线性代数第三章 性质4.3.2设h是方程组AwnXr1=bnm1的解， x是方程组Aw nXr1=0m1的解， 则x=h+x是方程组AunXr1=bn的解。 证明A(c+h)=Ax+Ah=0+b=b, 所以x=x+h是方程Ax=b的解， 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 证明

线性代数第三章 三、非齐次线性方程组的通解 若An nXn1=bm1(I)有解，则其通解为 x=h+k+k2+knxmr 其中h是(1)的一个特解， X1x2,4,Xm,是方程组Ax=0的基础解系 分析： 1.证明x=h+k1+kX2+⅓+kaXm,是解； 2.任一解都可以写成x=h+kK1+k式2+4+kmmr 的形式。 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 分析: 三、非齐次线性方程组的通解 若 有解，则其通解为 其中 是（1）的一个特解， 1. 证明 是解； 2. 任一解都可以写成 的形式

线性代数第三章 例1：求解方程组 1x1+x2-3x3x4=1, i3x1-x2-3x3+4x4=4, ix,+5x2-9x3-8x4=0. 解：对馆于短附进行初等竹变换化成行最简形 11-3-11ù5-3r11-3-11ù A=} -134 80-4671 15-9-8 0咱5-104-6-7-1 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 例1：求解方程组 解： 对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形

线性代数第三章 11-3-11ù 3 3 5 + 0 81 01.37 12 2 4 4 3 7 2 4 4ú 1 1ú 1 0 2 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 于是得与原方程组同解的方程组 3 5 2 4 i 3 1 X2 3 4 2 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 于是得与原方程组同解的方程组

线性代数第三章 3 3 5 北4+ 即 2 4 e i 3 7 1 令x,=x=0得特解 h*= 4ú 至 2 4 ee 0 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为 3ù u ú ú 7 ú X2 <O< 4ú ú e 0 ú 0日 81 ǘ 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为 令 得特解

线性代数第三章 因此，原方程组的通解为 ù 翻 电ee 54 ù 盈 ú 5 k2 7 4 4ú 其 中k,k,为径意款 i ěx4 触 0 可 0 i 0 丘 版权所有： 山东理工大学理学统

线性代数 第三章 版权所有：山东理工大学理学院 因此,原方程组的通解为 其中k1 ,k2为任意数