《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5.4 实对称矩阵的相似对角形_5.4 实对称矩阵的相似对角形

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线性代数第五章 实对称阵特征值特征向量的性质 上节讨论了一般矩阵与对角形矩阵的相似问 题，现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正 交矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似.为此，我们 首先证明下面三个引理， 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 一、实对称阵特征值特征向量的性质 上节讨论了一般矩阵与对角形矩阵的相似问 题，现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正 交矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似.为此，我们 首先证明下面三个引理

线性代数第五章 引理5.4.1实对称矩阵的特征值为实数 证明设复数！为对称矩阵的特征值，复向量x为 对应的特征向量，即 Ax=1xx10 用1表示l的共轭复数，表示x的共轭复向量， 则 Ax=Ax=(Ax)=(Ix)=1x. 转置右乘x:'Ax=x'Ix=Ix'x 由AK=IX,两边左乘配得影'Ax=x'lx=Ix'X 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 引理5.4.1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 转置右乘x: 由

线性代数第五章 上面两式相减，得 (0-l)x=0. 但由于x10, 所以 x=axx,=月x10D(-7)=0, i=1 i=1 即1=1，由此可得1是实数. 即：实对称矩阵的特征值为实数 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 上面两式相减，得 即：实对称矩阵的特征值为实数

线性代数第五章 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值对应的 特征向量是正交的. 证明设p1,P,分别是的不同的两个特征值11,1， 的特征向量，即 Ap=1 P,Ap2 =12P2,QA=Ag I p=(I P)=(Ap )pCAg=p.CA, 两边右乘p得：l1pp2=pAp2=p2P2=12P,p2, b(l1-12p,p2=0. Q11112,1p,p2=0.即p与p2正交. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 证明 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值对应的 特征向量是正交的

线性代数第五章 即：重特征值，对应r个线性无关的特征向量 版权所有：山东理工大学理学院

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线性代数第五章 证明设的的互不相等的特征值为11,12，L,1, 它们的重数依次为r,2,L,r,(+2+L+”,=). 根据引理5.4.1（对称矩阵的特征值为实数）和 引理5.4.3（重根的特征值，有个无关的特征 向量)可得： 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 证明 根据引理5.4.1(对称矩阵的特征值为实数)和 引理5.4.3(r重根的特征值，有r个无关的特征 向量)可得：

线性代数第五章 由引理5.4.2知对应于不同特征值的特征向量正 交，故这n个单位特征向量两两正交， 以它们为列向量构成正交矩阵P,则 PAP=P'AP=L 其中对角矩阵L的对角元素含个11，L,”个1，恰 是的n个特征值. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 由引理5.4.2知对应于不同特征值的特征向量正 交，故这n个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵P，则

线性代数第五章 二、实对称矩阵对角化的方法 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1.求A的特征值：11,12，L,1,其重数分别为 1,2,L,r,; 2.由(A-1,E)x=0,求出A属于特征值l 对应的个特征向量； 3.将特征向量正交化、单位化； 4.以特征向量为列向量写出正交矩阵P; 则P1AP=P'AP=L. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 3. 将特征向量正交化、单位化; 二、实对称矩阵对角化的方法 4. 以特征向量为列向量写出正交矩阵P； 1. 求A的特征值：

线性代数第五章 解(1)第一步求A的特征值 4-1 0 0 A-IE= 0 3-1 1 =(2-1)(4-1)2, 0 13-1 得特征值11=2,1，=13=4. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 解 (1)第一步 求A的特征值